Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Паровая машина, работающая на «постоянную» нагрузку и снабженная регулятором.

Рассмотрим динамику паровой машины, работающей на «постоянную» нагрузку и снабженной регулятором скорости вращения вала. Одна из наиболее распространенных схем регулирования паровой машины состоит в следующем: с валом машины связывают датчик угловой скорости вращения вала (тахометр),

который управляет (или непосредственно или через соответствующую сервосистему) золотником машины, уменьшая «угол отсечки» пара, а следовательно, и работу движущего момента при увеличении скорости вращения вала машины. Считая этот регулятор «безинерцион-ным», т. е. срабатывающим мгновенно, мы будем полагать теперь, что «угол отсечки» не является постоянной величиной, а является некоторой (для простоты — линейной) функцией скорости вращения вала

где коэффициент передачи регулятора, а «угол отсечки» при Остальные предположения относительно движущего момента и момента нагрузки оставим прежними.

Рис. 453.

Разбиение на траектории фазового цилиндра такой динамической модели паровой машины с регулятором во многом сходно с только что рассмотренным разбиением: на окружности имеется два «отрезка покоя» и которые состоят из устойчивых состояний равновесия, все траектории на нижней половине цилиндра идут к «отрезкам покоя» или же переходят на верхнюю половину цилиндра, а изучение хода траекторий на верхней половине фазового цилиндра (при по-прежнему сводится к построению и исследованию точечного преобразования полупрямой в полупрямую осуществляемого этими траекториями. Как и в предыдущем случае, траекториями на верхней половине фазового цилиндра являются параболы (8.86а) в области (I), где движущий момент т. е. и параболы (8.866) в области (II), где движущий момент Но теперь границей областей (I) и (II) является не образующая а наклонный отрезок (рис. 453), и это обстоятельство существенным образом изменяет функцию соответствия интересующего нас точечного преобразования.

Для вычисления функции соответствия рассмотрим траекторию L, выходящую из некоторой произвольной точки и полупрямой Если то траектория I сначала пойдет в области

ее уравнением будет:

поэтому она выйдет на границу области (I) на отрезок V в точке, ордината которой определяется уравнением

Далее траектория L идет в области (II), ее уравнением будет:

и следовательно, она придет на полупрямую в точке с ординатой и, даваемой соотношением

Полученные соотношения (8.87а) и (8.876) и определяют (в параметрической форме — через параметр функцию соответствия точечного преобразования полупрямой в полупрямую для

Конечно, в точки полупрямой преобразуются только те точки полупрямой для которых т. е.

точки полупрямой которым соответствуют преобразуются в точки «отрезка покоя».

Если же то траектория L сразу выходит в область (II), ее уравнением будет:

и следовательно, ордината и точки пересечения этой траектории с полупрямой (или, иначе говоря, функция соответствия для определяется уравнением

Ясно, что при и неподвижных точек рассматриваемого точечного преобразования не существует, и каждая точка полупрямых с координатой и после конечного числа преобразований

преобразуется в точку с координатой и у. Поэтому ниже при построении диаграммы Ламерея можно ограничиться интервалом изменения от

Кривые (8.87) являются гиперболами и в интересующем нас квадранте диаграммы Ламерея ( эти гиперболы или не имеют точек пересечения (рис. 454) или же пересекаются в одной точке, соответствующей неподвижной точке и точечного преобразования (рис. 455).

Рис. 454.

Для неподвижной точки имеем:

т. е.

этому значению соответствует:

Так как для неподвижной точки, если она существует, и то условием ее существования будет выполнение неравенств:

Эта неподвижная точка устойчива, поскольку в ней (в силу

очевидных неравенств:

и, следовательно,

Таким образом, если условия (8.88) не выполнены, то диаграмма Ламерея имеет вид, изображенный на рис. 454, и все траектории на фазовом цилиндре машины идут в точки «отрезков покоя» (рис. 456), т. е. машина останавливается при любых начальных условиях.

Рис. 455.

Если же условия (8.88) выполнены, то все последовательности точек пересечения траекторий с полупрямыми сходятся к единственной и устойчивой неподвижной точке (рис. 455). Это, очевидно, означает, что на фазовом цилиндре существует единственный и устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр и соответствующий поэтому автовращательному режиму работы машины, и к этому предельному циклу асимптотически приближаются все траектории, пересекающие полупрямую или хотя бы один раз

- (рис. 457). Кроме того, на фазовом цилиндре имеются и траектории, входящие в «отрезки покоя» (эти траектории не пересекают полупрямых

Рис. 456.

Рис. 457.

Поэтому при выполнении условий (8.88) мы имеем дело с жестким режимом возбуждения автовращательного режима работы машины: в машине будет устанавливаться автовращательный режим (с определенным, не зависящим от начальных условий периодом вращения главного вала машины), если начальные условия выбраны так, что изображающая точка при находится вне областей притяжения «отрезков покоя» (области притяжения «отрезков покоя» состоят из точек траекторий, входящих в «отрезки покоя», и их границами являются траектории, приходящие в точки ; эти области на рис. 457 заштрихованы).

Итак, надлежаще выбранный регулятор скорости вращения вала стабилизирует работу паровой машины: при наличии такого регулятора становится возможной устойчивая работа паровой машины на «постоянную» нагрузку. Аналогичное стабилизирующее действие на работу паровой машины оказывает и нагрузка, момент сил которой возрастает с увеличением скорости вращения вала. Такая нагрузка делает невозможным неограниченное нарастание скорости вращения вала, поскольку при таком нарастании имело бы место также неограниченное нарастание работы (за каждый оборот вала) сил, действующих на машину со стороны нагрузки. Поэтому паровая машина будет работать устойчиво на нагрузку, возрастающую с увеличением скорости вращения вала, и без всякого регулятора.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление