Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Начальные условия и идеализация.

Рассмотрим теперь случай, когда начальное состояние осциллятора с малой массой (заданы не совместно с уравнением первого порядка (1.47), т. е. когда следовательно, не мало. В этом случае мы, конечно, не можем ожидать, что уравнение первого

порядка будет адекватно отображать весь процесс движения такого осциллятора, так как это уравнение заведомо не применимо в начальный момент времени. Изучение таких движений осциллятора с малой массой, несмотря на малость последней (масса может быть сколь угодно малой), мы должны вести, пользуясь уравнением второго порядка (1.14), с которым заданные начальные условия совместны.

Для исследования особенностей движений осциллятора с малой массой в рассматриваемом сейчас случае сравним решение уравнения (1.14) в его приближенной форме (1.52) с решением уравнения первого порядка. Обращаясь к (1.53), мы видим, что по-прежнему разность а значит и может быть сделана сколь угодно малой для всех за счет выбора достаточно малого несмотря на то, что теперь не мало.

Однако нетрудно заметить, что для скоростей ситуация будет иной. Действительно, согласно (1.54) разность при малом фиксированном и малых (при близка к (это вполне понятно, так как Эта величина не зависит от от, и мы не можем сделать ее малой, выбирая малое Но, исследуя структуру выражения (1.54) и обращая внимание на быстрое уменьшение при фиксированном и уменьшающемся приходим к следующему заключению: выбором достаточно малого всегда можно добиться для всех начиная с некоторого, сколь угодно малого, но определенного момента (для всех выполнения неравенства

(здесь, как и раньше, любая наперед заданная сколь угодно малая положительная величина).

Таким образом, на начальном этапе движения (при скорость осциллятора с малой массой весьма быстро меняется (тем быстрее, чем меньше масса) от начального значения до значений, близких к получаемым из решения уравнения (1.47). Изменение координаты за этот промежуток времени само собой разумеется, стремится к нулю вместе с (или, что то же самое, вместе с

Совершенно ясно, что движение осциллятора с малой массой на этом этапе движения с быстрыми изменениями скорости и, следовательно, с большими ускорениями не может быть отображено уравнением первого порядка (1.47), ибо существенную роль играет масса, даже сколь угодно малая (член не мал по сравнению с другими членами уравнения (1.14), несмотря на малость массы Только после того, как осциллятор придет через время в состояние, близкое к совместному с уравнением (1.47) (а это как раз и означает, что член стал очень малым), скорость осциллятора перестанет быстро изменяться и его движение будет отображаться уравнением первого порядка (1.47) тем точнее, чем меньше

Рассмотрим для пояснения сказанного движение осциллятора с малой массой при следующих начальных условиях: при (эти начальные условия, конечно, не совместны с уравнением (1.47)). Пока х очень мало, член не играет роли, и, как следует из полного уравнения (1.14), ускорение определяется приблизительно выражением

и так как очень мало, то ускорение в системе очень велико — скорость чрезвычайно быстро возрастает. Вместе с тем возрастает и сила трения, и все большая и большая часть силы пружины расходуется на преодоление трения. Вследствие этого ускорение системы становится все меньше и меньше, и в конце концов член перестает играть заметную роль. Дальнейшее движение системы уже может быть удовлетворительно описано уравнением первого порядка (1.47). К этому времени скорость приобретает такое значение, которое связано со значением координаты уравнением (1.47), так как при исчезновении члена устанавливается приблизительное равенство между членами Так совершается этот быстрый переход от состояния, не совместимого с уравнением (1.47), к состоянию, которое этим уравнением допускается. Мы проследили этот переход аналитически, пользуясь полным уравнением второго порядка (1.14) и его решением (1.52).

При этом мы убедились, что если достаточно мало, то ускорения вначале очень велики и скорость изменяется очень быстро: система за очень короткий промежуток времени переходит в состояние, совместимое (конечно, с известной степенью точности) с уравнением первого порядка, причем этот промежуток времени настолько мал, что, несмотря на большие ускорения, координата системы не успевает сколько-нибудь заметно измениться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление