Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Применение метода Ван-дер-Поля

Рассмотрим при помощи метода Ван-дер-Поля колебания лампового генератора с колебательным контуром в цепи сетки или в цепи анода (рис. 465), пренебрегая, как обычно, анодной реакцией и сеточными токами.

Пусть затухание колебательного контура

Тогда уравнение лампового генератора приводится (см. § 1 настоящей главы) к следующему уравнению, близкому к уравнению гармонического осциллятора:

где некоторый масштаб напряжений), - коэффициент возбуждения генератора и приведенная, безразмерная крутизна характеристики лампы генератора.

Укороченные уравнения для этого уравнения, очевидно, запишутся в виде:

где

в силу четности подинтегральной функции и

в силу нечетности подинтегральной функции.

Таким образом, при любых характеристиках лампы и период автоколебаний (с точностью до членов порядка совпадает с периодом собственных колебаний колебательного контура генератора (при

1. Ламповый генератор при мягком режиме.

Аппроксимируем характеристику лампы полиномом третьей степени:

тогда крутизна характеристики

Положим Выбрав масштаб напряжений так, чтобы коэффициент при обратился в единицу: мы приведем безразмерную крутизну к виду:

где

Если характеристика лампы симметричная и аппроксимируется полиномом (рис. 473), то напряжение имеет физический смысл «напряжения насыщения» характеристики: при Очевидно, такой полином аппроксимирует свойства реальной характеристики только при т. е. при

Рис. 473.

Итак, при аппроксимации характеристики лампы полиномом (9.37) уравнение лампового генератора (при приводится к следующему уравнению:

для которого в согласии с (9.11) и (9.12) укороченные уравнения в полярных переменных Ван-дер-Поля запишутся в виде:

Радиусы предельных циклов на плоскости х, у (в нулевом приближении) даются уравнением

Здесь возможны два случая. Если т. е. (условия самовозбуждения генератора не выполнены), то уравнение (9.40) имеет единственный действительный корень соответствующий состоянию равновесия (0,0) лампового генератора. Это состояние равновесия устойчиво, так как при

Все остальные траектории, как нетрудно видеть, суть спирали, асимптотически приближающиеся к состоянию равновесия в начале координат при Таким образом, при мы имеем на фазовой плоскости х, у картину, характерную для затухающих колебаний (рис. 474, а), — при любых начальных условиях колебания в генераторе затухают и устанавливается равновесное состояние.

При (т. е. при когда условие самовозбуждения генератора выполняется, уравнение (9.40) имеет два интересных для нас корня:

Первый из них соответствует неустойчивому состоянию равновесия так как теперь

Второй корень соответствует предельному циклу радиуса

и притом устойчивому, так как

Рис. 474.

Остальные траектории разбиваются на два класса: на траектории наматывающиеся снаружи на предельный цикл при и уходящие в бесконечность при и на траектории, наматывающиеся изнутри на предельный цикл при и стремящиеся к состоянию равновесия при Мы имеем картину, характерную для простейшей автоколебательной системы, работающей в мягком режиме (рис. -при любых начальных условиях изображающая точка асимптотически (при приближается к устойчивому предельному циклу, что соответствует установлению в генераторе периодических, близких к синусоидальным, колебаний (автоколебаний).

Амплитуда автоколебаний дается радиусом предельного цикла и в размерных единицах, очевидно, равна

период автоколебаний (с точностью до членов порядка равен (в безразмерных единицах), поскольку или в обычных единицах

Если, начиная с некоторого значения параметра мы будем его непрерывно уменьшать (например, уменьшая коэффициент обратной связи то радиус предельного цикла будет также непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю при При предельный цикл исчезнет, сольется с неустойчивым фокусом, передав фокусу свою устойчивость; мы видим, что является бифуркационным значением параметра а.

Рис. 475.

Если изменять а непрерывно от значения до значения то при переходе а через возникнут автоколебания, амплитуда которых, начиная с нуля, будет непрерывно увеличиваться. При обратном изменении а амплитуда колебаний постепенно и непрерывно уменьшается, доходит до нуля, автоколебания исчезают и генератор начинает вести себя как затухающий осциллятор (рис. 475). Такой характер возникновения колебаний носит название мягкого возникновения автоколебаний (в данном случае при изменении параметра а) в отличие от жесткого возникновения автоколебаний, когда сразу возникают колебания конечной амплитуды, несмотря на то, что мы непрерывно и медленно меняем параметр.

Найдем теперь, пользуясь укороченными уравнениями, приближенные аналитические выражения, дающие процессы установления колебаний (мы будем полагать, что Интегрируя уравнения (9.39), находим:

(здесь С — произвольная постоянная, определяемая начальным значением К, например при нетрудно видеть, что Отсюда после перехода к переменным х, у получим:

Можно сказать, что это — приближенное выражение общего интеграла уравнений (9.38), так как здесь две произвольные постоянные: (заметим, что соответствует предельному циклу и — состоянию равновесия). Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство: выражение (9.37), принятое нами для характеристики, содержало квадратичный член, который, однако, совершенно не входит в выражение нулевого приближения общего решения (его влияние будет сказываться только в следующих приближениях). Это — весьма общее положение, относящееся не только к квадратичному, но и к любым четным членам характеристики. Если мы аппроксимируем характеристику в виде любого многочлена, четные члены не оказывают никакого влияния на нулевое приближение. Происходит это вследствие того, что разложение четных степеней синусов и косинусов содержит только синусы и косинусы четных кратных углов, и поэтому в их разложении не содержится основной (резонансной) частоты.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление