Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Ламповый генератор при аппроксимации характеристики лампы полиномом пятой степени.

Рассмотрим снова тот же ламповый генератор, но возьмем другое, более точное аппроксимирующее выражение для характеристики лампы, а именно положим:

Тогда для крутизны характеристики имеем:

Положив , где получим для приведенной

крутизны:

что даст возможность записать уравнение лампового генератора в виде

Согласно (9.11) и (9.12) укороченные уравнения записываются в форме:

где

Уравнение всегда имеет корень Это означает, что начало координат всегда является состоянием равновесия. Так как

то это состояние равновесия устойчиво при и неустойчиво при (при когда генератор самовозбуждается). Остальные корни уравнения отличные от нуля и являющиеся радиусами предельных циклов, очевидно, являются корнями биквадратного уравнения:

которое не может иметь более двух положительных корней.

Для графического решения этого уравнения построим диаграмму (рис. 476), на которой по оси абсцисс будем откладывать а по оси ординат (квадраты радиусов предельных циклов). На этой диаграмме кривая, определяемая уравнением (9.46):

как нетрудно видеть, является параболой с осью, параллельной оси В зависимости от знака коэффициента (или, что то же самое, от знака коэффициента в выражении мы имеем два случая.

Если (рис. 476, а), то является монотонно возрастающей функцией и уравнение (9.46) не имеет положительных корней при (т. е. при и имеет единственный положительный корень при Если же (рис. 476,б), то парабола (9.46а) пересекает ось в двух точках: в точке и в точке в точке, для которой парабола имеет вертикальную касательную и вся парабола расположена справа от этой касательной. Следовательно, при уравнение (9.46) не имеет положительных корней при (т. е. при имеет два положительных корня и при — наконец, один положительный корень при (при

Рис. 476.

Так как для корней уравнения (9.46)

то при единственный предельный цикл, существующий только при устойчив. Таким образом, при мы получим разбиения фазовой плоскости х, у на траектории, качественно такие

же, как и в случае аппроксимации характеристики лампы полиномом третьей степени (рис. 451), и характерные для мягкого возникновения колебаний (при изменении параметра а).

Иная картина получается при (т. е. при Теперь устойчивым является только тот предельный цикл, радиус которого

т. е. вся часть параболы (9.46а), расположенная над ее осью (она отмечена на рис. 476, б светлыми кружками), соответствует устойчивым предельным циклам, а дуга параболы, заключенная между осью параболы и осью абсцисс, — неустойчивым предельным циклам.

Рис. 477.

Таким образом, при мы имеем в зависимости от значения параметра а три качественно различных разбиения фазовой плоскости х, у на траектории (рис. 477).

При (рис. 477, а) все траектории асимптотически при приближаются к состоянию равновесия — к устойчивому

фокусу т. е. генератор не возбуждается, любые его колебания являются затухающими. При (рис. 477, б) состояние равновесия неустойчиво и все траектории стремятся к единственному устойчивому предельному циклу; в этом случае имеет место мягкий режим: автоколебания устанавливаются при любых начальных условиях.

Наконец, при (рис. 477, в) устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл радиуса разделены неустойчивым предельным циклом радиуса Поэтому траектории, начинающиеся внутри неустойчивого предельного цикла, будут идти к состоянию равновесия и только траектории, которые начинаются вне неустойчивого предельного цикла, будут наматываться на устойчивый предельный цикл. Другими словами, в генераторе в зависимости от начальных условий будет устанавливаться или состояние равновесия или автоколебания с амплитудой т. е. мы имеем дело с автоколебательной системой в жестком режиме (для возникновения автоколебаний в генераторе системе нужно дать некоторый «толчок»: необходимо, чтобы в начальный момент времени

Рис. 478.

На рис. 478 изображена плоскость параметров разбитая на области различных режимов генератора.

Посмотрим теперь, как при когда при имеет место жесткий режим, будет изменяться амплитуда автоколебаний при непрерывных и достаточно медленных изменениях параметра а. Если вначале генератор не возбужден, например а имеет некоторое значение, меньшее то при медленном и непрерывном возрастании параметра а изображающая точка системы будет находиться в состоянии равновесия (точнее, вблизи состояния равновесия и тем ближе к нему, чем медленнее изменяется параметр а) до тех пор, пока это состояние равновесия не потеряет устойчивости (при ). Но при уже существует устойчивый предельный цикл конечного радиуса поэтому при увеличении параметра

в тот момент, когда а станет равным единице, возбуждаются автоколебания конечной амплитуды. При дальнейшем увеличении а амплитуда автоколебаний непрерывно и монотонно растет

При убывании параметра а изображающая точка будет находиться на устойчивом предельном цикле (точнее, вблизи него и тем ближе, чем медленнее изменяется а) до тех пор, пока а не станет равным При переходе а через это бифуркационное значение устойчивый предельный цикл, слившись с неустойчивым предельным циклом, пропадает, автоколебания срываются (при амплитуде, равной и система переходит в состояние равновесия.

Рис. 479.

Мы видим, что возникновение и исчезновение автоколебаний происходят, в отличие от случая мягкого установления (при при разных значениях коэффициента возбуждения генератора и при причем автоколебания появляются и прекращаются с различными и в обоих случаях конечными амплитудами. В общем получается типичная картина так называемого жесткого установления автоколебаний (рис. 479).

Таким образом, аппроксимируя характеристику лампы полиномом пятой степени, мы в зависимости от знака коэффициента получим или мягкое или жесткое возникновение автоколебаний в генераторе (при изменении его параметра а). Так как

то интервалы сеточных смещений в которых имеют место соответственно мягкое и жесткое возбуждения, можно определить следующим образом. Построим по заданной аппроксимированной характеристике (рис. 480) кривую зависимости крутизны характеристики от и отметим на этой кривой точки перегиба Тогда при и этих сеточных смещениях будем иметь мягкое возбуждение автоколебаний. Наоборот, вне этого интервала (при или при и в генераторе будет жесткое возбуждение колебаний.

Рис. 480.

Заметим в заключение, что уравнения (9.45) можно проинтегрировать подобно тому, как мы это сделали в случае аппроксимации характеристики лампы полиномом третьей степени, и получить решения, количественно характеризующие процессы установления. К вопросу о мягком и жестком возникновении автоколебаний в ламповом генераторе (при изменении его параметров) мы еще вернемся в дальнейшем (в § 10 настоящей главы) в связи с теорией бифуркаций автоколебательных систем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление