Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА X. РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Введение

Как уже неоднократно указывалось, при рассмотрении всякой реальной физической системы мы неизбежно должны идеализировать эту систему, должны выбрать из всего многообразия свойств и качеств этой системы основные, определяющие, существенные для рассматриваемого круга вопросов и построить упрощенную динамическую (математическую) модель, уравнения движения которой отображают с той или иной степенью точности поведение реальной системы. Но, отбрасывая те или иные свойства системы, применяя ту или иную идеализацию, мы всегда рискуем тем, что можем отбросить как раз существенные для рассматриваемого вопроса обстоятельства и что сделанные упрощающие допущения как раз не дадут возможности правильно ответить на поставленные вопросы. Мы не можем построить никакой теории, пока не идеализируем свойств рассматриваемой системы, но, с другой стороны, мы не можем решить вопрос о «законности» допущенной идеализации, пока не получим каких-либо результатов из нашего теоретического рассмотрения и не сопоставим этих результатов с экспериментальными данными.

Одним из методов идеализации, всегда применяемым при построении упрощенной (идеализированной) динамической модели реальной физической системы, является пренебрежение так называемыми «малыми» или «паразитными» параметрами системы. Так, например, рассматривая колебания в RC-контуре (рис. 502) с помощью уравнения

мы пренебрегали, в частности, малой, паразитной индуктивностью Как мы видели в § 5 гл. I, этот параметр если он действительно мал (если ), не является существенным. При

колебаниях, начинающихся из состояний, совместных с уравнением (10.1), это уравнение удовлетворительно и правильно отображает весь процесс изменения токов и напряжений в RС-контуре и учет малой индуктивности L, т. е. переход к «более точному» уравнению второго порядка

не внесет ничего нового, давая лишь малые поправки к решению уравнения (10.1), тем меньшие, чем меньше Аналогично, пренебрегая малыми паразитными параметрами, мы сможем с достаточной степенью точности рассмотреть явления в контуре, состоящем из сопротивления R и индуктивности L, исходя из уравнения

если только эти паразитные параметры малы. Учет, например, малой собственной емкости катушки индуктивности (рис. 503), что приведет к дифференциальному уравнению второго порядка:

не изменит существенно результатов нашего рассмотрения, если только емкость достаточно мала (нужно, чтобы

Рис. 502.

Рис. 503.

Точно так же при исследовании работы лампового генератора с индуктивной обратной связью мы пренебрегали всеми малыми параметрами, в частности паразитными емкостями и индуктивностями монтажа, междуэлектродными емкостями лампы. Учет тех или иных малых паразитных параметров привел бы (кроме значительного усложнения задачи) лишь к малым изменениям в условиях самовозбуждения генератора и выражениях, определяющих амплитуду и период автоколебаний, и т. д.

Так мы поступали всякий раз при построении динамической модели физической колебательной системы, пренебрегая малыми, паразитными параметрами и рассчитывая на то, что неучтенные малые параметры играют тем меньшую роль, чем меньше их величины. Мы вынуждены это делать хотя бы из-за того, что невозможно учесть все малые параметры.

В рассмотренных выше примерах, равно как и во всех задачах, разобранных нами ранее, такое пренебрежение малыми, паразитными параметрами, наряду с другими упрощающими предположениями давало возможность построить такие динамические модели (такие системы дифференциальных уравнений), которые позволяли проследить за поведением колебательных систем при (конечно, при условии, что начальные состояния (при не противоречили уравнениям использэвавшихся динамических моделей). При этом результаты рассмотрения находились в качественном и удовлетворительном количественном согласии с экспериментальными данными.

Рис. 504.

Однако далеко не всегда допустимо отбрасывать все малые параметры, так как среди них могут оказаться параметры, существенные для процессов в рассматриваемой колебательной системе. Например, при рассмотрении генератора, схема которого приведена на рис. 504, нельзя пренебречь малой паразитной, так называемой проходной емкостью лампы так как только через нее осуществляется обратная связь анодного колебательного контура с сеточным, необходимая для возбуждения автоколебаний. Поэтому, пренебрегая малой емкостью мы не сможем объяснить даже самовозбуждение схемы.

В качестве второго примера рассмотрим процесс, происходящий после включения постоянной э. д. с. в контур, состоящий из последовательно соединенных сопротивления R, индуктивности L и большой емкости С (рис. 505). Пусть начальный заряд на конденсаторе тогда уравнение для силы тока в контуре мы сможем записать в виде:

Посмотрим, нельзя ли в этом уравнении пренебречь членом

отображающим напряжение на конденсаторе, на том основании, что «мало» (поскольку С «велико»).

Рис. 505.

Отбрасывая этот член, мы получим уравнение

которое, однако, правильно отображает процесс изменения силы тока только в начальной стадии (в течение промежутка времени порядка Действительно, согласно упрощенному уравнению в контуре при должна устанавливаться сила тока, равная в то время как на самом деле и в согласии с уравнением (10.3) сначала (за промежуток времени порядка сила тока достигает значения, близкого к а затем по мере увеличения напряжения на конденсаторе начинает уменьшаться и медленно (как стремится к нулю при (рис. 506). Таким образом, несмотря на то, что член

имеет «малый» коэффициент и сначала мал по сравнению с другими членами уравнения (10.3), им пренебрегать нельзя, если мы хотим проследить весь процесс установления тока в контуре, так как рассматриваемый контур через промежуток времени порядка RC обязательно придет в такие состояния, в которых этот член будет уже сравним с э. д. с., включенной в контур.

Рис. 506.

Наконец, существуют такие колебательные системы, построение теории которых вообще невозможно без учета некоторых малых (паразитных) параметров, так как последние являются существенными для процессов в этих системах. Примерами таких систем могут служить мультивибратор с одним RС-звеном и другие колебательные системы, совершающие так называемые разрывные колебания, т. е. такие колебания, при которых сравнительно медленные изменения состояния системы чередуются с весьма быстрыми, «скачкообразными» (мультивибратор является типичным примером генератора разрывных колебаний).

Рис. 507.

Рис. 508.

При рассмотрении в § 8 гл. IV мультивибратора с одним RC-звеном (рис. 507) мы пренебрегали всеми паразитными параметрами (в том числе паразитными емкостями). Полученная в результате этого динамическая модель первого порядка (ее фазовая прямая приведена на рис. 508) оказалась «дефектной», «вырожденной» в том смысле, что она не дала возможности проследить за поведением системы во все моменты времени после задания ее начального

состояния (совместного, конечно, с уравнением этой модели). Оказывается, при любых начальных условиях уравнение динамической модели первого порядка «приводит» систему в одно из состояний, изображаемых на рис. 508 «точками стыка фазовых траекторий» которые не являются состояниями равновесия и из которых согласно этому уравнению нет выходящих фазовых траекторий.

Поскольку все «большие» параметры мультивибратора были учтены, причину построения такой неудачной, «дефектной» модели, очевидно, следует искать в том, что мы, пренебрегая всеми паразитными параметрами схемы, пренебрегли среди них и какими-то параметрами, существенными (несмотря на их «малость») для колебательных процессов в мультивибраторе. Такими существенными паразитными параметрами, определяющими (наряду с емкостью С, сопротивлениями и характеристикой ламповой группы) закономерности колебаний в мультивибраторе, являются, в частности, малые паразитные емкости или всегда имеющиеся в схеме (они изображены на рис. 507 пунктиром). Эти емкости играют определяющую роль во время быстрых, «скачкообразных» изменений сеточных напряжений и, которые, как известно, являются характерными для колебаний мультивибратора. При учете паразитных емкостей или (эти емкости в реальных схемах мультивибратора обычно значительно меньше емкости С) мы придем к вполне «доброкачественной» модели второго порядка, т. е. к такой модели, которая позволяет проследить неограниченно во времени за поведением мультивибратора и объяснить, в частности, периодическое повторение скачков сеточного напряжения и (см. § 5 гл. VIII и § 12 гл. V). Существенно при этом, что при колебаниях мультивибратор периодически приходит в такие состояния, в которых члены дифференциальных уравнений с малыми паразитными емкостями в качестве их коэффициентов не являются малыми по сравнению с другими членами этих уравнений (несмотря на малость паразитных емкостей по сравнению с емкостью С). Именно поэтому нельзя пренебрегать паразитными емкостями при построении динамической модели мультивибратора при рассмотрении его колебаний.

Все сказанное о мультивибраторе с одним RC-звеном относится в равной мере и ко всем другим системам, совершающим разрывные колебания. В этих системах, так же как и в мультивибраторе, сам характер колебаний обусловлен существенностью некоторых малых паразитных параметров на определенных этапах колебательного процесса. Поэтому рассмотрение систем с разрывными колебаниями, что является целью настоящей главы, невозможно без учета в той или иной форме по крайней мере некоторых существенных паразитных параметров этих систем.

Прежде чем переходить к изложению приближенных методов рассмотрения систем с разрывными колебаниями (в § 3) и к рассмотрению конкретных примеров таких систем (в последующих параграфах), мы поставим перед собой более частную задачу: попытаемся выяснить влияние малых параметров (членов дифференциальных уравнений с малыми коэффициентами) на устойчивость состояний равновесия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление