Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Мультивибратор с одним RС-звеном

Рассмотрим еще раз уже знакомую нам автоколебательную систему, совершающую при известных условиях разрывные автоколебания, — мультивибратор с одним звеном (рис. 527). Как мы уже видели в § 8 гл. IV, модель мультивибратора, построенная при пренебрежении

Рис. 527.

всеми паразитными параметрами, оказалась «вырожденной», «дефектной» в том смысле, что она без дополнительных предположений (без постулата скачка) не позволяла проследить за колебаниями мультивибратора, не объясняла даже качественных особенностей колебаний мультивибратора. Это произошло из-за того, что среди отброшенных малых паразитных параметров имеются существенные для колебательных процессов в мультивибраторе. К числу таких существенных параметров относятся малые паразитные емкости всегда имеющиеся в реальной схеме (это малые паразитные емкости монтажа и внутриламповые емкости).

Рис. 528.

1. Уравнения колебаний.

Составим уравнения колебаний мультивибратора, учитывая эти малые паразитные емкости (но считая, что Пренебрегая сеточными токами и анодной реакцией, считая характеристику ламповой группы (рис. 528) заданной, мы получим на основании законов Кирхгофа:

Очевидно, мультивибратор имеет единственное состояние равновесия:

Введем для упрощения выкладок новые, безразмерные переменные связанные со старыми переменными соотношениями:

где некоторые масштабы напряжения и времени, некоторые коэффициенты. Подставляя новые переменные во второе уравнение (10.25), получим:

(точкой сверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени), или, выбрав

имеем:

Аналогично первое уравнение (10.25) в новых переменных запишется

или

Выбрав

и, следовательно,

мы приведем уравнения (10.25) к виду, характерному для систем с разрывными колебаниями:

где

— малый положительный, параметр, характеризующий малость паразитных емкостей (при параметр

— коэффициент передачи схемы, абсолютная величина крутизны характеристики ламповой группы в состоянии равновесия:

и

— приведенная, безразмерная характеристика ламповой группы (очевидно, При переменные пропорциональны сосшзетственно

переменным составляющим напряжения и на сетке левого триода и напряжения на конденсаторе

масштаб времени

Заметим также, что масштаб напряжений остался произвольным; его можно выбрать так, чтобы упростить выражение для

Ниже для упрощения рассмотрения мы будем рассматривать только симметричный случай, т. е. будем считать характеристику ламповой группы и сеточное смещение такими, что приведенная характеристика является нечетной функцией причем монотонно убывает при увеличении (тогда —

2. Фазовая плоскость х, у при ... Скачки напряжения u.

Рассмотрим разбиение фазовой плоскости на траектории для случая малого точнее, для предельного случая Прежде всего выделим на фазовой плоскости кривую

или

которая является фазовой линией «вырожденной» модели мультивибратора (т. е. модели с или с Из уравнений следует, что при фазовая скорость х остается конечной только в малой -окрестности линии и что вне малой окрестности этой кривой (с размерами, например, порядка имеют место «быстрые» движения изображающей точки (при под кривой над ней), в то время как всюду остается конечной. Вследствие этого фазовые траектории «быстрых» движений близки к горизонтальным прямым т. е. при «скачках» сеточного напряжения напряжение на конденсаторе С можно считать неизменным. Приближенное уравнение «быстрого» движения («скачка») изображающей точки по траектории, близкой к прямой мы получим из первого уравнения (10.26), заменив в нем у на приближенное значение

В зависимости от величины коэффициента передачи К возможны два случая.

При

на всей фазовой линии «вырожденной» системы, поэтому все траектории «быстрых» движений идут к этой линии F (рис. 529, а). Следовательно, если начальное состояние мультивибратора отображалось точкой в малой окрестности кривой то изображающая точка будет в дальнейшем двигаться, не выходя из этой окрестности (точнее, вблизи линии

Соответственно колебания мультивибратора при и достаточно малом значении параметра (т. е. при отображаются (тем более точно, чем меньше уравнением «медленных» движений, которое получается при пренебрежении паразитными емкостями или, иначе говоря, подстановкой уравнения фазовой линии модели первого порядка уравнения (10.27) — во второе уравнение (10.26):

Рис. 529.

В этом случае (т. е. при малые паразитные емкости, если они действительно малы, не играют существенной роли в колебательных процессах мультивибратора и ими можно пренебречь. Очевидно, при любых начальных условиях устанавливается состояние равновесия (или так как при для всех ли, следовательно, согласно уравнению при

Иная картина получается при В этом случае, как нетрудно видеть, состояние равновесия неустойчиво как при учете паразитных параметров (при так и при пренебрежении ими (при Теперь на фазовой линии «вырожденной» модели имеется отрезок — единственный корень уравнения на котором условие несущественности малых паразитных емкостей не выполняется: на этом отрезке

Фазовые траектории «быстрых» движений отходят от этого отрезка фазовой линии «вырожденной системы», содержащего, между прочим, и состояние равновесия (рис. 529, б). Таким образом, при малых паразитных емкостях или, точнее, в пределе при мультивибратор уходит «скачком» из всех состояний с причем при «скачке» скачкообразно изменяется переменное напряжение и на сетке левого триода, при неизменном значении переменного у, т. е. при неизменном напряжении на конденсаторе С мультивибратора. Так из динамики модели мультивибратора, построенной при учете сколь угодно малых паразитных емкостей и существенных для колебательных процессов в мультивибраторе получается постулат скачка, использованный нами в § 8 гл. IV.

Как нетрудно видеть, все траектории «быстрых» движений идут в малые окрестности тех частей фазовой линии «вырожденной» модели, на которых выполняется условие несущественности паразитных емкостей:

т. е. к участкам кривой имеющим отрицательный наклон. Только в малых -окрестностях этих участков имеют место «медленные» (с конечными скоростями изменения х при движения изображающей точки вблизи линии подчиняющиеся приближенно (но тем точнее, чем меньше уравнению (10.29). В пределе, при эти траектории «медленных» движений стремятся к рассматриваемым участкам линии Таким образом получается разбиение фазовой плоскости мультивибратора на траектории, изображенное на рис. 529, б для предельного случая К этому разбиению близки разбиения фазовой плоскости на траектории при достаточно малых

Так как на участках кривой то там с течением времени уменьшается, и изображающая точка в силу динамики «вырожденной» модели (в силу уравнения придет в одну из точек А или откуда «скачком» по траектории «быстрого» движения «перепрыгнет» соответственно в точку или в точку после чего снова начнется «медленное» движение и т. д. Для нахождения концевой точки скачка в рассматриваемой нами задаче нет необходимости прибегать к исследованию уравнения «быстрых» движений (10.28), — она однозначно определяется по начальной точке «скачка»

условием неизменности значения переменной у (т. е. напряжения конденсаторе С) во время скачка, что дает в силу (10.27) следующее уравнение для определения абсцисс концевых точек скачка:

Очевидно, замкнутая кривая (рис. 529, б) является предельным циклом, устанавливающимся при любых начальных условиях.

Рис. 530.

Этот предельный цикл и является математическим образом «разрывных» автоколебаний мультивибратора, при которых «медленные» движения (с конечными скоростями изменения сеточного напряжения и или х) периодически чередуются с «быстрыми», «скачкообразными» при Можно показать, что при малых на фазовой плоскости также существует предельный цикл (рис. 530), близкий к циклу т. е. стягивающийся к нему при (см. предыдущий параграф). Осциллограммы колебаний переменных х и у, соответствующих фазовой траектории, начинающейся в точке (рис. 529, б), качественно изображены на рис. 531: колебания переменной х, т. е. сеточного напряжения и, носят «разрывный» характер; колебания переменной у, т. е. напряжения на конденсаторе С, непрерывны и имеют «пилообразную» форму.

Рис. 531.

Период автоколебаний (при или, иначе говоря, его приближенное значение при малых мы, очевидно, получим, если вычислим времена пробега изображающей точки по участкам

и «медленного» движения на предельном цикле (длительностью скачков мы пренебрегаем). На траекториях «медленных» движе

поэтому период автоколебаний (он равен в рассматриваемом симметричном случае удвоенному времени движения изображающей точки по участку

в единицах безразмерного времени, или

в обычных единицах.

Вычислим период автоколебаний мультивибратора, взяв некоторые конкретные выражения для характеристики ламповой группы.

Рис. 532.

Для кусочно-линейной характеристики ламповой группы (рис. 532,а)

если выбрать за масштаб напряжения половину «длины» падающего участка характеристики. В силу этого и в согласии с результатами § 8 гл. IV и § 5 гл. VIII период

автоколебаний

Для характеристики, аппроксимируемой полиномом третьей степени (рис. 532, б), имеем:

если под масштабом понимать половину разности напряжений, при которых крутизна характеристики обращается в нуль. Абсциссы начальных точек скачков при разрывных автоколебаниях найдем из уравнения

Тогда согласно (10.26) абсциссы концевых точек скачков определятся уравнением

которое, как нетрудно убедиться, имеет единственное действительное решение для х

Поэтому

и

Вычислим, наконец, период автоколебаний мультивибратора для характеристики, падающий участок которой представлен полиномом третьей степени (рис. 532, в), — для характеристики, принятой нами в § 12 гл. V при рассмотрении колебаний генератора с двухзвенной RC-цепочкой и мультивибратора с одним RC-звеном. Для этой характеристики, если взять в качестве масштаба напряжения половину

«длины» падающего участка характеристики, имеем:

(как и в предыдущем примере), определяется уравнением

т. е.

Тогда

и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление