Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Два генератора электрических разрывных колебаний

Хорошими электрическими аналогами только что рассмотренной механической релаксационной системы являются простейшие генераторы электрических разрывных (релаксационных) колебаний: схема с неоновой лампой (или с вольтовой дугой) и динатронный генератор.

1. Схема с неоновой лампой.

Разрывные колебания в этой схеме (рис. 540) мы уже рассматривали в § 6 гл. пользуясь постулатом скачка силы тока, т. е. считая, что при зажигании и гашении неоновой лампы сила тока через нее изменяется скачком при неизменном напряжении на лампе (или, что то же самое, на конденсаторе С). Этот постулат скачка не являлся следствием использованной там модели первого порядка (не являлся следствием уравнения (4.30)), а был получен, исходя из дополнительных физических соображений относительно ограниченности токов и напряжений в схеме.

Рис. 540.

Мы рассмотрим теперь кратко ту же схему, учитывая существенные паразитные параметры (но считая их достаточно малыми), и получим, в частности, «скачки» силы тока через неоновую лампу при «неизменном» напряжении на конденсаторе С как следствие динамики системы. Учитывая малую паразитную индуктивность L цепи неоновой лампы, изображенную пунктиром на рис. 540, получим следующие уравнения колебаний в схеме с неоновой лампой:

где функция, отображающая зависимость силы тока через неоновую лампу от напряжения на ней, — уравнение статической характеристики лампы; обратную функцию, уже однозначную для горящей неоновой лампы, мы обозначим через Как известно, характеристика неоновой лампы (она изображена на рис. 541) имеет падающий участок (при Ниже мы будем предполагать, что состояние равновесия рассматриваемой нами схемы, определяемое соотношениями:

Рис. 541.

единственно, лежит на этом падающем участке (рис. 541) и, следовательно, неустойчиво.

Характеристическое уравнение для этого состояния равновесия, как нетрудно видеть, имеет вид:

поэтому состояние равновесия если оно лежит на падающем участке характеристики и единственно, т. е. если неустойчиво при что, очевидно, выполняется при достаточно малых Для того чтобы состояние равновесия было единственным и лежало на падающем участке, необходимо, чтобы были достаточно большими подробнее об этом см. гл. IV, § 7, п. 2).

Построим предельное (для разбиение фазовой плоскости на траектории системы (10.33). Прежде всего проведем линию

— фазовую линию «вырожденной» модели (рис. 542) и выделим на ней участки на которых выполняется условие несущественности малой паразитной индуктивности

Рис. 542.

Вне этой линииоо при (справа от линии слева от нее — при ограниченных Поэтому область фазовой плоскости вне линии является при областью «скачкообразных» изменений состояний системы и заполнена вертикальными прямолинейными траекториями скачков силы тока — траекториями идущими из бесконечности и от участка линии соответствующего падающему участку характеристики неоновой лампы, к линиям Иначе говоря, в области вне линий имеют место скачки силы тока через неоновую лампу при неизменном напряжении на конденсаторе С (соответственно при достаточно малых L в этой области имеют место весьма быстрые изменения силы тока I при почти неизменном напряжении и, так как фазовые траектории этих быстрых изменений состояний близки при малых L к прямым «Медленные» изменения состояний с конечными при скоростями изменения силы тока I и

напряжения и имеют место только на линиях и (точнее, вблизи этих линий при малых Здесь колебания в схеме удовлетворительно отображаются уравнениями вырожденной системы:

Так как на траекториях «медленных» изменений состояний нет состояний равновесия и изображающая точка движется по ним соответственно к точкам из которых начинаются скачки силы тока, то при любых начальных условиях в схеме устанавливаются разрывные (релаксационные) автоколебания, которым на фазовой плоскости соответствует предельный цикл (рис. 542) и при которых колебания силы тока носят разрывный характер, а колебания напряжения и имеют «пилообразную» форму (рис. 543). Мы не будем вычислять амплитуд и периода автоколебаний, так как они, очевидно, будут выражаться формулами, полученными в § 6 гл. IV.

Рис. 543.

Таким образом, в рассматриваемой схеме паразитная индуктивность монтажа и инерционность газового разряда в неоновой лампе являются факторами, существенными (несмотря на их малость) для протекания колебательных процессов в схеме. Только при их учете мы получили динамическую модель, которая достаточно полно отображает динамику схемы и позволяет проследить за колебаниями схемы без привлечения каких-либо дополнительных соображений или гипотез, давая при этом результаты, находящиеся в качественном и удовлетворительном количественном совпадении с экспериментальными данными.

2. Динатронный генератор разрывных колебаний.

Схема динатронного генератора разрывных (релаксационных) колебаний приведена на рис. 544; его колебания (при учете малой паразитной емкости описываются уравнениями:

где уравнение характеристики тетрода (эта характеристика тетрода качественно изображена на рис. 545; существенно, что она имеет падающий участок: при

Генератор имеет состояния равновесия, определяемые, очевидно, уравнением

Мы будем полагать в дальнейшем параметры схемы такими, чтобы схема имела единственное состояние равновесия лежащее на падающем участке характеристики тетрода (рис. 545).

Рис. 544.

Рис. 545.

Тогда это состояние равновесия неустойчиво, поскольку емкость достаточно мала, и схема будет самовозбуждаться.

Характеристическое уравнение для состояния равновесия генератора, как нетрудно видеть, записывается в виде:

Если состояние равновесия лежит на падающем участке характеристики и единственно, следовательно, это состояние равновесия неустойчиво при что выполняется при достаточно малых

Для рассмотрения колебаний схемы при достаточно малых построим разбиение фазовой плоскости на траектории в

предельном случае Это разбиение изображено на рис. 546. Всюду вне линии определяемой уравнением вне фазовой линии «вырожденной» модели скорости изменения напряжения а на тетроде сколь угодно велики при достаточно малых значениях паразитной емкости при причем над линией под ней всюду ограничена. Следовательно, эта область фазовой плоскости заполнена траекториями по которым изображающая точка движется с «бесконечно большой» фазовой скоростью, т. е. траекториями «скачков» напряжения и на тетроде (при неизменной силе тока Эти траектории идут из бесконечности и от участка линии соответствующего падающему участку характеристики, к остальным частям линии на которых выполнены условия несущественности малой паразитной емкости

Рис. 546.

В силу этого изображающая точка, попав в результате «скачка» на кривую или будет затем двигаться по этой кривой уже с конечными (даже при скоростями изменения напряжения и, т. е. линии являются траекториями «медленных» изменений состояний системы. Так как на условие несущественности паразитной емкости выполнено, то здесь малой емкостью можно пренебречь и можно записать уравнение колебаний схемы (при «медленных» изменениях напряжения и на тетроде) в виде следующего уравнения первого порядка:

На траекториях (там нет состояний равновесия), причем на а на поэтому изображающая точка, двигаясь по траектории (по траектории обязательно придет через конечный интервал времени в точку В

(в точку откуда по соответствующей траектории скачка «перескочит» в точку С траектории точку А траектории

Таким образом, мы приходим к выводу, что на фазовой плоскости существует предельный цикл в который переходят все траектории системы. Соответственно в схеме при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания, при которых в отличие от схемы с неоновой лампой разрывный характер имеют колебания напряжения и, а колебания силы тока I имеют «пилообразную» форму (рис. 547). Наибольшие размахи колебаний силы тока и напряжения, очевидно, равны соответственно и Период автоколебаний слагается из длительностей интервалов времени движения изображающей точки по участкам и траекторий «медленных» движений (длительностью скачков от к С и от к А мы пренебрегаем) и, как нетрудно видеть, равен

(интегралы, стоящие в этом выражении, легко вычисляются, например, в том случае, когда характеристика тетрода аппроксимируется кусочно-линейной функцией).

Рис. 547.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление