Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи

Мы уже видели, что задача рассмотрения автоколебательной системы значительно упрощается, если один из существенных колебательных параметров мал, вследствие чего движения системы распадаются на сравнительно простые «быстрые» и «медленные» движения. Первые из них описываются уравнениями (10.17) или соответствующим образом сформулированным постулатом скачка; вторые — уравнениями (10.16), составленными без учета паразитных параметров и имеющими поэтому пониженный порядок.

Мы перейдем теперь к рассмотрению более сложных систем с разрывными колебаниями, уравнения «медленных» движений которых имеют второй порядок. В качестве первого примера возьмем знакомую нам схему мультивибратора с одной RC-цепью, но с индуктивной анодной нагрузкой (рис. 553) (для некоторого упрощения задачи мы будем пренебрегать омическим сопротивлением анодной нагрузки).

1. Уравнения «медленных» движений.

Пренебрегая всеми паразитными параметрами, сеточными токами и анодной реакцией, мы

получим на основании законов Кирхгофа следующие уравнения колебаний мультивибратора (в обозначениях рис. 553):

которые являются уравнениями второго порядка (соответственно состояния мультивибратора мы можем отображать точками на фазовой плоскости

Рис. 553.

Схема, очевидно, имеет единственное состояние равновесия, в котором

Для упрощения рассмотрения колебаний мультивибратора мы аппроксимируем характеристику ламповой группы кусочно-линейной функцией (рис. 553), причем будем считать, что сеточное смещение выбрано так, чтобы рабочая точка, соответствующая состоянию равновесия, лежала в середине падающего участка характеристики.

Введем новые безразмерные переменные пропорциональные переменным составляющим напряжений мини тока

где половина «длины» падающего участка характеристики ламповой группы, новое безразмерное время

а также безразмерную характеристику ламповой группы

где абсолютное значение крутизны характеристики на падающем участке. Тогда, выбрав мы приведем уравнения мультивибратора к следующей безразмерной форме:

где

или, исключая

Фазовая плоскость х, у при кусочно-линейной характеристике ламповой группы очевидно, распадается на три области линейности: Так как при то в первой области, содержащей единственное состояние равновесия уравнения (10.41а) запишутся в виде линейной системы:

с характеристическим уравнением

Поэтому состояние равновесия (0,0) устойчиво при и неустойчиво при

Ниже мы будем рассматривать только последний случай случай самовозбуждающегося мультивибратора (нетрудно видеть, что при 1 все траектории идут при возрастании к единственному и устойчивому состоянию равновесия, т. е. в этом случае нет никаких автоколебаний).

Рассмотрим ход фазовых траекторий системы уравнений (10.41а) вблизи прямых являющихся границами областей линейности. Так как при переходе через эти прямые выражение изменяет знак (поскольку 1), то точки этих прямых или, точнее, точки полупрямых являются точками стыка фазовых траекторий. Эти точки не являются состояниями равновесия, но к ним фазовые траектории подходят с обеих сторон.

Таким образом, пренебрегая паразитными параметрами, мы получили «дефектную» модель мультивибратора — модель, не позволяющую провести рассмотрение колебаний мультивибратора: уравнения (10.41а) «заводят» систему в такие состояния на прямых которые не являются состояниями равновесия и из которых, с другой стороны, нет выходящих фазовых траекторий. Поэтому для получения «доброкачественной» модели мультивибратора нам необходимо или дополнить уравнения (10.41а) соответствующим постулатом скачка или же учесть существенные паразитные параметры схемы.

В задаче о колебаниях судна, управляемого двухпозиционным авторулевым (гл. VIII, § 6), мы также получили на фазовой плоскости линию стыка фазовых траекторий и затем доопределили систему дифференциальных уравнений движения системы так, чтобы стало возможным движение изображающей точки и вдоль этой линии; это движение изображающей точки соответствовало наблюдаемому на практике так называемому «скользящему» режиму работы двухпозиционного авторулевого.

В рассматриваемой задаче о мультивибраторе такое доопределение движения изображающей точки вдоль полупрямых ничего, кроме ухода в бесконечность, дать не может, т. е. также не приводит к результатам, хотя бы качественно согласующимся с экспериментальными данными.

Заметим также, что точно такая же «дефектная» модель (с линиями стыка фазовых траекторий) получается и для мультивибратора с анодной нагрузкой, состоящей из сопротивления и индуктивности Поэтому учет в мультивибраторе с одним RС-звеном (§ 4 настоящей главы) паразитной индуктивности анодной цепи не приведет к построению «доброкачественной» модели мультивибратора.

2. Уравнения мультивибратора при учете паразитной емкости Са.

Составим уравнения колебаний мультивибратора, учитывая малую паразитную емкость анодного узла (ее учета, как мы сейчас увидим, будет достаточно для построения «доброкачественной» модели мультивибратора). На основании законов Кирхгофа имеем:

или в переменных пренебрегая малой емкостью в выражении

где малый положительный параметр, характеризующий малость паразитной емкости (остальные обозначения те же, что и в (10.41)).

Полагая т. е. пренебрегая малой паразитной емкостью мы получим снова уравнения (10.41) или (10.41а) — уравнения «медленных» движений системы, которые, однако, справедливы не на всей фазовой поверхности «вырожденной» системы

а только на той ее части на которой выполняется условие несущественности малой паразитной емкости

т. е. только при

Вне малой окрестности поверхности происходят «быстрые» движения изображающей точки (там при т. е. х изменяется скачком). При этом траектории «быстрых» движений при малых близки к прямым и идут в сторону увеличения х над поверхностью и при и в сторону уменьшения х под ней (при Предельное (для разбиение фазового пространства на траектории системы (10.42), к которому близко разбиение на траектории при достаточно малых качественно изображено на рис. 554; в частности, там изображен предельный цикл, который, как мы увидим ниже, действительно существует при

Таким образом, рассматривая модель мультивибратора, полученную при учете малой Паразитной емкости мы приходим к следующим выводам относительно характера колебаний схемы (при :

1) Схема совершает разрывные колебания, гак как все траектории «быстрых» движений идут к поверхности и переходят, слег довательно, в траектории «медленных» движений, которые в свою очередь переходят снова в траектории «быстрых» движений на границах поверхности при

2) «Медленные» движения изображающей точки имеют место только на поверхности

только при уравнения (10.41) или (10.41а) отображают законы колебаний схемы.

Рис. 554.

3) Во время «быстрых» движений (скачков) изображающей точки переменное (или напряжение и на сетке лампы изменяется мгновенно, а переменные (т. е. напряжение на конденсаторе С и сила тока в анодной нагрузке) остаются неизменными.

3. Разрывные колебания схемы.

Проведем детальное рассмотрение разрывных колебаний схемы, опираясь на только что сформулированные особенности колебаний схемы, и, в частности, докажем существование автоколебаний.

Как уже указывалось выше, «медленные» движения системы имеют место только при поэтому они описываются линейными уравнениями:

поскольку при Так как характеристическое уравнение для системы (10.416) записывается в виде:

то характер поведения схемы во время «медленных» изменений состояния зависит только от величины параметра Именно,

если 1, т. е. если то оба корня характеристического уравнения (10.43) будут действительными и отрицательными, и система будет себя вести как апериодическая. Ее фазовые траектории вне заштрихованной полосы для которой уравнения (10.416) не справедливы, будут иметь вид такой же, как и в случае линейного осциллятора, особая точка которого является устойчивым узлом (рис. 555). Если же иначе, то система будет вести себя (во время «медленного» движения) как линейная колебательная система с особой точкой типа устойчивого фокуса в начале координат и фазовые траектории вне заштрихованной полосы будут иметь вид кусков спиралей (рис. 556). И в том, и в другом случае изоклиной вертикальных касательных является прямая а изоклиной горизонтальных касательных — ось х = 0 (последняя, однако, лежит вне области применимости уравнений (10.416)). Стрелками на фазовых траекториях (рис. 555 и 556) указано направление движения изображающей точки, определенное по тому, каков знак х или у в той или иной области. Заметим, что представляющая точка двигается по фазсвым траекториям уравнений (10.416) не в направлении вращения часовой стрелки, как обычно, а против этого направления, потому что у не есть просто х, а связано с уравнением

Нетрудно видеть, что независимо от значения параметра фазовые траектории «медленных» движений выходят на прямые откуда изображающая точка уходит скачком по соответствующей траектории «быстрого» движения: Место, куда придет изображающая точка в результате скачка, определяется

Рис. 555.

условиями неизменности при скачке переменных

Рис. 556.

Поскольку концевая точка скачка (в пространстве лежит снова на поверхности ее координаты связаны с координатами начальной точки скачка где уравнениями

и определяются этими уравнениями однозначно, а именно:

Следовательно, с прямой изображающая точка перескакивает по траектории скачка в точку прямой и наоборот, с прямой прямую После скачка изображающая точка движется, дальше снова по фазовой траектории «медленного» движения, пока снова не придет на прямую Таким путем из кусков фазовых траекторий «медленных» движений и скачков составляются фазовые траектории (точнее, положительные полутраектории) мультивибратора, отображающие его разрывные колебания (рис. 557 и 558). Покажем, что эти траектории асимптотически приближаются (при к устойчивому предельному циклу.

Мы начнем наше рассмотрение со случая достаточно большой индуктивности L т. е. Для этого случая мы получаем разбиение плоскости х, у на траектории, изображенное на

рис. 557 (траектории состоят из дуг спиралей «медленных» движений и из отрезков прямолинейных фазовых траекторий скачков:

Рис. 557.

Это разбиение симметрично относительно начала координат, так как и уравнения «медленных» движений (10.416), и условия скачка (10.44) инвариантны относительно замены переменных х, у на — х, —у. Поэтому для рассмотрения колебаний схемы (и, в частности, для доказательства существования и устойчивости предельного цикла) нам достаточно исследовать преобразование точек прямой в точки прямой осуществляемое фазовыми траекториями «медленных» движений на полуплоскости Неподвижная точка этого преобразования, очевидно, соответствует предельному циклу.

Рис. 558.

Рассмотрим фазовую траекторию системы уравнений (10.416), выходящую при из точки

где характеристическое уравнение (10.43) имеет комплексно сопряженные корни Пусть при изображающая точка, двигаясь по этой траектории, придет на прямую в точке (очевидно, ). Тогда

где Разрешая эти соотношения относительно мы получим следующие параметрические выражения для функции соответствия

Рис. 559.

Графики полученных непрерывных (при функций качественно изображены на рис. 559. Так как при а причем то существует (по крайней мере одна) точка пересечения этих кривых — неподвижная точка рассматриваемого точечного преобразования. Значение параметра для нее очевидно, определяется уравнением

или

и притом, как нетрудно видеть, единственным образом. Итак, точечное преобразование имеет единственную неподвижную точку а на плоскости х,у имеется единственный предельный цикл. Этот предельный цикл устойчив, так как в неподвижной точке

Таким образом, мы убеждаемся, что в рассматриваемой схеме устанавливаются и будут происходить разрывные автоколебания. Форма этих колебаний, вообще говоря, будет заметно отличаться от синусоидальной, так как х (т. е. напряжение на сетке лампы

а вместе с ним и напряжение на аноде лампы в некоторых областях изменяются скачкообразно.

Период автоколебаний в силу симметрии разбиения на траектории плоскости х, у, очевидно, равен в единицах безразмерного времени, или

в обычных единицах (как и раньше, мы пренебрегаем при подсчете периода автоколебаний длительностью «быстрых» движений — скачков). Ясно, что меньше «условного периода» затухающих колебаний осциллятора, описываемого всюду уравнениями (10.416), так как из-за наличия мгновенных скачков изображающая точка делает оборот быстрее, чем изображающая точка такого осциллятора (именно из-за этого

Подсчитаем период и амплитуду автоколебаний для случая очень больших когда Полагая в мы получим нулевоэ приближение для :

и период автоколебаний при достаточно больших L близок к периоду колебаний -контура без сопротивления Для определения поправки на период при малых введем

Тогда, подставляя а в (10.46), мы получим для а уравнение

или, разлагая функции, входящие в уравнение, в стёпенные ряды:

Отсюда следует, что а имеет порядок величины и поэтому определяется соотношением

Таким образом, при т. е. при

Как видим, поправка на период имеет порядок величины и поэтому сравнительно велика (для сравнения напомним, что в обычном ламповом генераторе поправка на период является величиной порядка

Подставляя (10.47а) в (10.45), получим для , т. е. для амплитуды автоколебаний переменного у:

Так как при малых фазовые траектории «медленных» движений близки к окружностям то приближенно такой же будет и амплитуда автоколебаний переменного х. Переходя от безразмерных переменных к размерным, мы получим для амплитуд автоколебаний напряжений и (на сетке лампы (на конденсаторе С) следующие выражения:

Так как при малых то амплитуда колебаний напряжения на аноде лампы очевидно, приближенно равняется Все эти амплитуды возрастают при увеличении что то же самое, при уменьшении

Перейдем теперь к рассмотрению случая малых L или, иначе, случая, когда В этом случае корни характеристического уравнения (10.43) действительны и отрицательны, и система ведет себя во время «медленных» движений как линейная, имеющая в начале координат особую точку типа узла (рис. 555). В частности, в области «медленных» движений, т. е. при имеются две прямолинейные фазовые траектории (их угловые коэффициенты являются величинами, обратными корням и характеристического уравнения Разбиение плоскости х, у на траектории для случая малых L было приведено на рис. 558 (траектории движения изображающей точки состоят из кусков фазовых траекторий «медленных» движений и из кусков траекторий «быстрых» движений — скачков:

Подробное рассмотрение показывает, что и в этом случае существует устойчивое периодическое движение, состоящее из двух движений с конечной скоростью и двух скачков и устанавливающееся при любых начальных условиях (это утверждение может быть доказано, например, путем построения и исследования соответствующего точечного преобразования). Эти движения представляющей точки по предельному циклу и отображают разрывные автоколебания в мультивибраторе. Амплитуда этих колебаний может быть определена сразу; именно, изменения переменного происходят в пределах от до т. е. амплитуда автоколебаний переменного равна (тогда амплитуда колебаний напряжения и на сетке лампы Что же касается периода автоколебаний, то его можно определить, взяв интеграл по вдоль участков предельного цикла, по которым происходит «медленное» движение изображающей точки.

Однако задача вычисления периода весьма упрощается в том случае, когда L очень мало но, конечно, по-прежнему . Тогда и фазовые траектории в области

«медленного» движения (но вне некоторой малой окрестности прямой близки к горизонтальным прямым. Соответственно

предельный цикл будет близок к оси поэтому во время «медленного» движения изображающей точки по предельному циклу или обычное время) и, следовательно, Интегрируя правую часть этого уравнения в пределах от до 1, мы получим длительность полупериода автоколебаний:

т. е. период автоколебаний равен:

Интересно, что в рассмотренном случае емкость С не влияет заметно на величину периода; это объясняется тем, что при малых L мы получаем сравнительно высокочастотные разрывные автоколебания, во время которых емкость С почти не успевает перезаряжаться (амплитуда колебаний напряжения на этой емкости, как мы видели, равна

Мы подробно рассмотрели два предельных случая больших и малых индуктивностей L и получили ответы на все вопросы, которые обычно возникают при исследовании автоколебательных процессов. Именно, мы выяснили вопросы об амплитуде, периоде и форме автоколебаний и характере их установления. Мы ограничились случаями больших и малых L только ради простоты изложения, вообще же можно исследовать все эти вопросы и при других, промежуточных значениях На рис. 560 приведены фотографии картины на плоскости и, и полученные для рассматриваемой схемы с помощью катодного осциллографа (на отклоняющие пластины осциллографической трубки подавались напряжения на сетке лампы и на аноде

Фотографии расположены в порядке уменьшения Характер периодического процесса, изображенного на этих фотографиях, в общем совпадает с той картиной, которую мы получили при теоретическом рассмотрении.

Рис. 560. (см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление