Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. «Универсальная» схема

Рассмотренные выше (в этой главе) системы могут совершать только разрывные автоколебания. Существуют, однако, такие системы, в которых возможны как непрерывные, так и разрывные автоколебание переходящие друг в друга при изменениях того или иного параметра системы (при переходе этого параметра через некоторое критическое, бифуркационное значение). Такова, например, так называемая «универсальная» схема [125], приведенная на рис. 561 (характер

ее состояния равновесия был уже рассмотрен в § 4, гл. V). Эта схема является «промежуточной» между генератором квазисинусоидальных (и следовательно, непрерывных) колебаний с двухзвенной RC-цепочкой (см. § 12, гл. V и § 5,гл. VIII) и мультивибратором с одним RC-звеном: в первую схему «универсальная» схема превращается при нижнем положении движка потенциометра и во вторую — при верхнем положении этого движка когда емкость оказывается подсоединенной параллельно емкости Поэтому можно ожидать, что при перемещении движка потенциометра от нижнего положения к верхнему (при изменении от к 1) в схеме будет иметь место переход от непрерывных автоколебаний к разрывным. Исследование схемы это подтверждает.

Рис. 561.

Уравнение колебаний «универсальной» схемы при пренебрежении сеточными токами и анодной реакцией, а также всеми паразитными параметрами схемы кроме малой паразитной емкости (она изображена на рис. 561 пунктиром) могут быть записаны на основании законов Кирхгофа (в обозначениях рис. 561) следующим образом:

или в переменных

где малый положительный параметр, характеризующий малость паразитной емкости а точкой сверху обозначено дифференцирование по безразмерному времени Характеристика ламповой группы изображена на рис. 561; мы будем

полагать ниже для большей определенности, что абсолютное значение крутизны характеристики

имеет наибольшее значение в состоянии равновесия схемы (при и монотонно убывает, стремясь к нулю, при увеличении

Если пренебречь малой паразитной емкостью т. е. положить и уравнениях то множество состояний такой системы будет составлять в пространстве поверхность

где (10.49)

— правая часть первого уравнения (10.48) — уравнения с малым коэффициентом при производной. Поверхность в пространстве гомеоморфна координатной плоскости ; поэтому «медленные» движения системы мы можем отображать траекториями на этой плоскости. В соответствии с (10.19) имеем следующее условие несущественности малой паразитной емкости

Здесь, очевидно, возможны два случая.

При или, иначе, при

условие (10.49а) будет выполнено на всей фазовой поверхности системы с В этом случае малая паразитная емкость не является существенной для колебательных процессов в схеме, ею можно пренебречь и рассматривать колебания «универсальной» схемы как колебания системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением (10.49) и двумя последними из уравнений (10.48). Это связано, очевидно, с тем, что при все траектории «быстрых» движений изображающей точки, которые имеются при малых в фазовом пространстве вне поверхности идут к этой поверхности (рис. 562). Исключая из этих уравнений одно из переменных, например мы получим для переменных систему двух дифференциальных уравнений:

с регулярными правыми частями (знаменатель правой части первого уравнения всюду положителен).

Рис. 562.

Эти уравнения позволяют проследить за поведением рассматриваемой схемы и сделать заключения о ее колебаниях.

Если условие самовозбуждения

не выполнено, то единственное состояние равновесия является устойчивым фокусом или узлом, к которому идут все фазовые траектории. В этом случае при любых начальных условиях схема приходит к состоянию равновесия, т. е. не совершает ни непрерывных, ни разрывных автоколебаний.

Рис. 563.

Если же условие самовозбуждения (10.51) выполнено (но по-прежнему то единственное состояние равновесия будет неустойчивым фокусом или узлом, и при сделанных нами предположениях относительно вида характеристики ламповой группы на плоскости будет существовать единственный и устойчивый предельный цикл, к которому будут идти все остальные фазовые траектории (рис. 563 и 564). Разбиения плоскости на траектории, изображенные на рис. 563 и 564, построены путем графического интегрирования (методом изоклин) уравнений (10.50). Первое

из них дано для случая, когда состояние равновесия является неустойчивым фокусом, второе — для случая, когда это состояние равновесия — неустойчивый узел. В схеме, таким образом, при любых начальных условиях будут устанавливаться непрерывные автоколебания, поскольку скорости движения изображающей точки по предельному циклу, равно как и на всей плоскости всюду ограничены (и при сколь угодно малой паразитной емкости Иная картина получается при при

Рис. 564.

При выполнении этого условия в силу непрерывности и монотонности изменения от 5 до при увеличении очевидно, существует такое значение и напряжения и на сетке левого триода, что а при следовательно, условие несущественности малой паразитной емкости (условие не выполнено.

Поэтому фазовые траектории «быстрых» движений (скачков) в фазовом пространстве отходят от полосы и поверхности фазовой поверхности системы без паразитной емкости т. е. при и в рассматриваемой схеме возможны только «быстрые» движения изображающей точки — скачки напряжения и, не подчиняющиеся, конечно, уравнениям (10.50), составленным при пренебрежении малой паразитной емкостью Наоборот, на остальной части поверхности условие (10.49а) выполнено, там траектории «быстрых» движений подходят к поверхности и следовательно, вблизи ее движение изображающей точки (колебания схемы) может быть удовлетворительно отображено уравнениями «медленных» движений (10.50), если только емкость действительно мала.

Таким образом, при мы получаем разбиение фазового пространства на траектории, приведенное на рис. 565 и соответствующее уже разрывным колебаниям схемы. На части поверхности имеют место «медленные» (с конечной скоростью при движения изображающей точки по траекториям, определяемым при достаточно малых уравнениями (10.50). Вне при но остаются

конечными, поэтому там имеют место «быстрые» движения изображающей точки (скачки) по траекториям «быстрых» движений Так как над поверхностью и под ней то все траектории «быстрых» движений идут к поверхности где переходят в траектории «медленных» движений. В свою очередь все траектории «медленных» движений переходят в траектории скачков при или при Из этих чередующихся друг с другом кусков траекторий «быстрых» и «медленных» движений и «сшиваются» траектории движения изображающей точки — фазовые траектории рассматриваемой схемы в пространстве

Рис. 565.

Можно показать, что все фазовые траектории стремятся (при к единственному и устойчивому предельному циклу. Таким образом, при в схеме устанавливаются при любых начальных условиях разрывные автоколебания.

На рис. 566 приведена проекция на координатную плоскость этого разбиения пространства на траектории. Траектории «медленных» движений, идущие в областях построены путем графического интегрирования уравнений (10.50); траекториями скачков являются прямые причем концевые точки траекторий скачков, начинающихся в точках определяются, очевидно, соотношениями:

(множество концевых точек траекторий скачков образуют, таким образом, прямые Как видим, все траектории асимптотически приближаются к предельному циклу состоящему из двух кусков траекторий «медленных» движений и и двух отрезков траекторий «быстрых» движений и

Рис. 566.

Заметим, что сам переход непрерывных автоколебаний в разрывные при совершается непрерывно: при приближающихся к со стороны меньших значений скорость изменения напряжения и на прямой неограниченно возрастает и при становится бесконечно большой; с другой стороны, изменение напряжения и в результате скачка при тонно растет при увеличении начиная с нулевого значения при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление