Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Симметричный мультивибратор

Рассмотрим автоколебания симметричного мультивибратора (рис. 578), предложенного Абрагамом и Блохом и являющегося одним из часто применяемых генераторов разрывных колебаний напряжения [131, 6, 61].

Рис. 578.

1. Уравнения колебаний.

Для этой схемы, пренебрегая сеточными токами, анодной реакцией и всеми паразитными параметрами, в том числе и паразитными емкостями, и считая схему симметричной (т. е. считая одинаковыми характеристики ламп также величины соответствующих емкостей и сопротивлений схемы), получим (в обозначениях рис. 578) следующие уравнения колебаний:

где анодные токи ламп функции соответственно

Схема, очевидно, имеет единственное состояние равновесия, в котором

Введем для упрощения выкладок безразмерные переменные связанные с напряжениями их, соотношениями:

где некоторый масштаб напряжений пропорциональны переменным составляющим напряжений на сетках ламп и на конденсаторах С), безразмерное время

и безразмерную характеристику ламп

где - крутизна характеристики ламп в рабочей точке (т. е. при

Ниже для большей определенности мы будем считать характеристику ламп, а также сеточное смещение такими, что безразмерная крутизна характеристики является четной непрерывной функцией х, которая монотонно убывает, стремясь к нулю, при возрастании очевидно, (рис. 579).

Рис. 579.

В новых безразмерных переменных уравнения колебаний мультивибратора запишутся в следующей форме:

где

— параметр схемы, являющийся коэффициентом усиления (на высоких частотах) усилителя, собранного из элементов одной из половин схемы. Исключая мы получим два дифференциальных уравнения первого порядка для

или, разрешая относительно

Таким образом, рассматриваемый мультивибратор является системой второго порядка (при пренебрежении всеми паразитными параметрами) и его состояния мы можем изображать точками на плоскости Применяя критерий Бендиксона к уравнению интегральных кривых

получаемому из уравнений (10.686), можно убедиться, что система уравнений (10.686) не допускает непрерывных периодических решений, так как выражение

т. е. всюду положительно.

Характеристическое уравнение для единственного состояния равновесия имеет вид:

так как в силу определения безразмерной характеристики лампы При это состояние равновесия устойчиво (устойчивый узел), и к нему, как нетрудно видеть, стремятся (при все фазовые траектории. Иначе говоря, мультивибратор при любых начальных условиях приходит к состоянию равновесия и не может совершать никаких автоколебаний.

Поэтому ниже мы будем рассматривать только случай

когда единственное состояние равновесия неустойчиво (седло) и мультивибратор самовозбуждается. Но при на плоскости , очевидно, существует такое множество точек, в которых выполняется равенство

это множество точек образует некоторую непрерывную кривую замкнутую и симметричную относительно биссектрис и координатных осей плоскости На этой кривой обращаются в бесконечность, причем существенно, что точки части этой кривой являются точками стыка фазовых траекторий уравнений (10.686), и в них уравнения (10.686), составленные при пренебрежении паразитными параметрами схемы, не дают возможности продолжения решения.

Таким образом, пренебрегая паразитными параметрами, мы опять приходим к «дефектной» динамической модели, уравнения которой не позволяют проследить за поведением мультивибратора (очевидно, из-за того, что при составлении этих уравнений были отброшены среди паразитных параметров параметры, существенные для колебательных процессов в мультивибраторе).

2. Скачки напряжений

Покажем, учитывая малые паразитные емкости (они изображены на рис. 578 пунктиром), что мультивибратор будет совершать при разрывные колебания [61].

Уравнения колебаний мультивибратора при учете малых паразитных емкостей (но при прежних остальных упрощающих предположениях) в безразмерных переменных, введенных выше, могут быть записаны в виде следующей системы дифференциальных уравнений четвертого порядка:

где

— малый положительный параметр, характеризующий малость паразитных емкостей по сравнению с емкостью С. Вывод уравнений колебаний мультивибратора при учете паразитных емкостей и приведение этих уравнений к безразмерной форме мы опускаем, так как связанные с этим выкладки полностью аналогичны выкладкам, проделанным в § 5 настоящей главы при выводе уравнений (10.26). Уравнения (10.70) написаны сразу для случая достаточно малых значений емкостей

Рассмотрим в общих чертах предельное (при разбиение четырехмерного фазового пространства на фазовые траектории системы уравнений (10.70). Выделим в этом пространстве поверхность

— фазовую поверхность «вырожденной» системы эта поверхность, очевидно, гомеоморфна координатной плоскости т. е. точки поверхности и плоскости соответствуют друг другу взаимно однозначно и непрерывно. В каждой точке четырехмерного фазового пространства вне этой поверхности при остаются конечными; поэтому

в пределе, при все фазовое пространство вне поверхности заполнено фазовыми траекториями, лежащими в плоскостях

По этим траекториям изображающая точка двигается «скачком» сколь угодно большой скоростью изменения переменных при достаточно малых что соответствует «быстрым» (тем более быстрым, чем меньше паразитные емкости) изменениям состояния мультивибратора, во время которых «скачком» изменяются сеточные напряжения а напряжения и на конденсаторах С остаются неизменными.

Для достаточно малых приближенные (асимптотические) дифференциальные уравнения траекторий «быстрых» движений, лежащих вблизи некоторой плоскости получаются из первых двух уравнений (10.70) заменой в них переменных на постоянные

Эти уравнения, конечно, справедливы только вне малой окрестности точек пересечения плоскости и поверхности а их решения аппроксимируют при достаточно малых (и тем точнее, чем меньше решения точной системы уравнений (10.70) (также вне только на протяжении конечных интервалов времени.

Так как

то согласно критерию Бендиксона приближенные уравнения (10.71) не могут иметь замкнутых фазовых траекторий. Поэтому ход всех траекторий «быстрых» движений определяется особыми точками уравнений (10.71) и их сепаратрисами. Особыми точками уравнений (10.71), очевидно, являются точки пересечения плоскости с поверхностью при этом точка поверхности устойчивый узел приближенных уравнений (10.71), если

и седло, если

Следовательно, все фазовые траектории «быстрых» движений (они лежат при в плоскостях идут из бесконечности и от точек поверхности в которых

в малые окрестности точек той части поверхности на которой

эту часть поверхности к точкам которой идут все фазовые траектории «быстрых» движений, мы будем обозначать ниже через

Таким образом, при достаточно малых фазовые траектории «медленных» движений изображающей точки (с ограниченными при фазовыми скоростями) лежат только в малой окрестности (с размерами порядка поверхности

В пределе, при эти траектории «медленных» движений лежат на самой поверхности и их дифференциальные уравнения получаются из уравнений поверхности и последних двух уравнений (10.70), т. е. совпадают с уравнениями (10.68), полученными ранее при пренебрежении паразитными параметрами схемы.

Границей области «медленных» движений (области является замкнутая линия на поверхности определяемая уравнением

при этом, в силу сделанных выше предположений относительно характеристик ламп, областью является та часть поверхности которая лежит вне кривой Так как в области «медленных» движений (на поверхности нет ни состояний равновесия, ни замкнутых фазовых траекторий и траектории «медленных» движений не уходят в бесконечно удаленные части поверхности (см. уравнения (10.68)), то изображающая точка, двигаясь по траекториям «медленных» движений на поверхности обязательно придет на ее границу после чего она совершит «быстрое» движение (скачок) по соответствующей траектории и придет снова на поверхность Координаты концевой точки скачка очевидно, связаны с координатами начальной точки скачка уравнениями

так как во время скачка и (т. е. напряжения и на конденсаторах С) не изменяются, а начальные и концевые точки скачков лежат на поверхности

В рассматриваемой задаче условия скачка (10.74) для каждой точки кривой дают единственную концевую точку скачка и поэтому использование дифференциальных уравнений скачков (10.71) для определения концевых точек скачков не является необходимым. Однако исследование этих уравнений дает возможность найти сами траектории «быстрых» движений (приближенно для достаточно малых значений параметра найти соотношения между переменными и во время скачков. Начальная точка скачка, лежащая на кривой является для приближенных уравнений (10.71) особой точкой типа седло-узел и из нее выходит единственная траектория уравнений (10.71), которая и является интересующей нас траекторией «быстрого» движения (скачка).

Рис. 580.

3. Разрывные колебания мультивибратора.

Таким образом, при рассматриваемый мультивибратор будет совершать разрывные колебания, состоящие из чередующихся друг с другом «медленных» (с конечными скоростями изменения сеточных напряжений и «быстрых», скачкообразных при изменений состояния мультивибратора. Пользуясь гомеоморфностью координатной плоскости и поверхности плоскости и плоскостей мы можем рассмотреть эти разрывные колебания путем изучения разбиения плоскости т. е. плоскости сеточных напряжений на траектории «медленных» и «быстрых» движений (на траектории уравнений (10.68) и заметим, что траектории на координатной плоскости являются проекциями фазовых траекторий в четырехмерном фазовом пространстве и поэтому могут пересекаться между собой.

Это разбиение на траектории плоскости качественно изображено на рис. 580. Так как кривая граница поверхности проектируется на плоскость в виде кривой (см. (10.69)), то областью «медленных» движений (проекцией поверхности будет та часть плоскости которая лежит вне замкнутой кривой в области, лежащей внутри кривой никаких «медленных» движений быть не может, там имеют место только «быстрые», скачкообразные движения изображающей точки. Изображающая точка, двигаясь по траектории уравнений (10.68)

в области «медленных» движений, обязательно придет на границу этой области — на кривую откуда по траектории «быстрого» движения (по соответствующей траектории уравнений (10.71)) «перепрыгнет» снова в область «медленных» движений. Геометрическое место концевых точек скачков соответствующих согласно (10.74) начальным точкам скачков — точкам кривой изображено на рис. 580 в виде кривой (эта кривая является при сделанных выше упрощающих предположениях также замкнутой и непрерывной кривой, симметричной относительно биссектрис плоскости и охватывающей кривую

Если изображающая точка пришла на линию в некоторой точке а (рис. 580), то ее дальнейшее движение будет происходить по траектории состоящей из отрезков траекторий «медленных» движений и из отрезков траекторий скачков (на рис. 580 траектории «медленных» движений изображены жирными линиями, траектории скачков — тонкими линиями). Можно показать, что в результате этого движения система асимптотически (при приближается к периодическому процессу, которому соответствует предельный цикл состоящий из двух отрезков траекторий «медленных» движений и двух траекторий скачков

При таком периодическом движении все время соблюдаются равенства

Эта симметрия в колебаниях является, конечно, следствием симметричности схемы и характеристики ламп мультивибратора. Можно было бы с самого начала предполагать, что установившиеся автоколебания будут симметричными; тогда в уравнениях (10.70) мы могли бы положить и получить систему уравнений второго порядка:

Систему подобного типа мы уже рассматривали (см. § 5 этой главы) при изучении разрывных колебаний мультивибратора с одним RC-звеном (таким образом, результаты, полученные в § 5, и в частности выражения для периода автоколебаний, справедливы и для установившихся колебаний симметричного мультивибратора).

Рис. 581.

Однако при таком подходе мы были бы лишены возможности рассматривать процессы установления этих колебаний в схеме.

На рис. 581 приведена фотография разбиения на траектории плоскости сеточных напряжений (плоскости полученная с помощью катодного осциллографа. Эта фотография полностью подтверждает сделанные выше заключения о разрывном характере колебаний мультивибратора и об установлении в нем периодических

разрывных колебаний (автоколебаний). Ясно видно, что скачки напряжений и начинаются не только из точек кривой но и из точек области, лежащей внутри нее. Изображающие точки, заброшенные в начальный момент в область внутри уходят из нее скачком.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление