Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Уравнения движения

До сих пор мы рассматривали только простейшие консервативные системы. Теперь мы перейдем к более сложным.

Для составления уравнений движения более сложных консервативных систем удобно воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода. Обозначая через некоторую функцию (пусть это будет однозначная функция координаты и скорости которую назовем лагранжевой функцией, мы получим уравнение Лагранжа в таком виде:

Уравнение это инвариантно по отношению к любому преобразованию координаты· другими словами, это значит, что, полагая мы снова получим уравнения типа (2.40), т. е.

Эта инвариантность уравнений Лагранжа представляет большое преимущество, так как она дает возможность сразу написать уравнения

движения для любых выбранных координат, если известна лагранжева функция системы. Для обычных консервативных механических систем (при условии, что система отсчета инерциальна) лагранжева функция представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий; точно так же в простейших электрических системах лагранжева функция представляет собой разность магнитной и электрической энергий, если в качестве обобщенных координат выбраны интегралы от независимых контурных токов (в контурах, содержащих конденсаторы, очевидно, являются зарядами на этих конденсаторах). Особенно удобно пользоваться уравнениями Лагранжа для составления уравнений движения электромеханических систем.

Однако следует заметить, что не всегда лагранжева функция может быть представлена как разность двух энергий; в таких случаях не всегда оказывается возможным указать наперед «физический» рецепт составления функции Лагранжа, а можно лишь чисто аналитически, путем специального подбора функции L, привести уравнения движения к требуемой форме. Известно, что для уравнения Лагранжа в случае автономной консервативной системы можно написать так называемый «интеграл энергии», который выражается так:

Простым дифференцированием нетрудно убедиться, что производная по времени левой части этого равенства обращается в нуль в силу уравнения Лагранжа. Однако выражение (2.41) не всегда означает энергию системы в физическом смысле этого слова. Вводя наряду с координатой вторую переменную так называемый импульс, и составив функцию

так называемую функцию Гамильтона, мы можем уравнение движения (2.40) привести к двум дифференциальным уравнениям первого порядка:

которые носят название уравнений Гамильтона. Гамильтонова форма уравнений движения представляет существенные преимущества при рассмотрении ряда вопросов математики, астрономии и физики. Ряд методов интегрирования уравнений движения связан именно с этой формой.

Уравнения Гамильтона инвариантны не только по отношению к преобразованиям переменных, о которых уже была речь, но и по отношению к так называемым каноническим преобразованиям, которые играют «важную роль при изучении консервативных систем со многими степенями свободы.

Заметим, что «интеграл энергии» для уравнений Гамильтона может быть написан сразу:

Перейдем теперь к рассмотрению двух примеров, которые пояснят применение уравнений Лагранжа и Гамильтона.

Рис. 93.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление