Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Основные свойства консервативных систем.

Рассмотрим теперь несколько подробнее движения, допускаемые в консервативной системе. Начнем с положений равновесия. Положения равновесия определяются обращением в нуль правых частей уравнений (2.61):

Эти положения равновесия либо соответствуют особым точкам системы, либо образуют линии равновесия (в случае существования общих множителей которые тогда, как мы видели, непременно совпадают с интегральными кривыми.

Мы видели, что особыми точками не могут быть точки, к которым сходится бесконечное множество траекторий, сплошь заполняющих часть плоскости, т. е., другими словами, положения равновесия не могут быть абсолютно устойчивыми.

Замкнутые траектории соответствуют периодическим решениям: мы уже видели, что если есть хоть одно такое периодическое решение, то другие движения не могут на него накручиваться (а также с него скручиваться).

Иначе говоря (как мы уже упоминали), в консервативной системе не может быть также абсолютно орбитно-устойчивых траекторий. Если в консервативной системе есть одна замкнутая траектория, то их обязательно существует бесконечное множество, сплошь заполняющее некоторую область фазовой плоскости, причем эти замкнутые траектории вложены одна в другую. Физически это значит, что если возможно одно периодическое движение, то возможно бесконечное множество их, причем максимальные размахи и максимальные значения скоростей могут иметь любые значения, заключенные между

определенными пределами в зависимости от начальных условий. Нетрудно видеть, что периоды колебаний, вообще говоря, различны для различных максимальных размахов, т. е. также зависят от начальных условий. Системы, допускающие изохронные колебания, т. е. колебания, период которых не зависит от максимального размаха, представляют исключительный случай; в качестве примера можно указать на уже рассмотренный в гл. I случай гармонического осциллятора. В случае, если фазовая поверхность топологически эквивалентна плоскости, внутри замкнутых траекторий обязательно должна быть одна или несколько особых точек (если такая особая точка одна, то это обязательно центр). Колебания в системе совершаются только около одного или нескольких положений равновесия, из которых обязательно некоторые устойчивы. Если же, например, фазовая поверхность — цилиндр, то могут существовать замкнутые траектории, не охватывающие особых точек, а именно траектории, охватывающие цилиндр; в таких системах могут происходить периодические движения по замкнутым траекториям, не охватывающим положений равновесия. В качестве примера можно указать на вращение маятника без затухания при большой начальной скорости. Далее возможны замкнутые интегральные кривые с одной или несколькими особыми точками; первые соответствуют дважды лимитационным движениям, т. е. движениям, которые для стремящегося к стремящегося к стремятся к одному и тому же положению равновесия. Вторые соответствуют лимитационным движениям, которые для стремятся к одному положению равновесия, а для к другому. Возможны также лимитационно-убегающие движения, которые для стремящегося в одну сторону в бесконечность, стремятся к положению равновесия, а для стремящегося в другую сторону в бесконечность, тоже уходят в бесконечность, и, наконец, дважды убегающие движения, которые в обе стороны уходят в бесконечность.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующей терминологией. Если уравнения движения системы (определяемой двумя автономными уравнениями первого порядка) допускают однозначный аналитический интеграл, то мы будем говорить, что структура интегральных кривых на фазовой плоскости для этой системы имеет консервативный характер. Такую систему, имеющую однозначный аналитический интеграл, мы будем называть консервативной системой, если она имеет интегральный инвариант, удовлетворяющий следующим требованиям: область интегрирования может быть выбрана любой, лишь бы ее не пересекали некоторые изолированные кривые; 2) при дальнейшем изменении не стремится к нулю, оставаясь в конечной части фазовой плоскости.

В заключение укажем еще на одно свойство, о котором мы уже кратко упоминали, а именно неустойчивость консервативных систем в отношении изменения вида дифференциальных уравнений. Можно

показать, что малейшее изменение вида дифференциального уравнения, вообще говоря, существенно изменяет всю картину на фазовой плоскости и нарушает консервативность системы. Для иллюстрации этого положения, которое будет точно сформулировано и разъяснено для общего случая в дальнейшем, можно привести следующий пример. Уравнение гармонического осциллятора мы можем рассматривать как частный случай уравнения линейного осциллятора:

При мы получаем консервативную систему — особую точку центр и интегральные кривые в виде семейства вложенных друг в друга эллипсов. При но как угодно малом, т. е., по существу, при сколь угодно малом изменении вида дифференциального уравнения, система перестает быть консервативной, особая точка превращается в фокус, замкнутые траектории исчезают и появляются спирали. Можно сказать иначе, что консервативная система представляет собой весьма частный случай динамической системы, случай, который осуществляется только при вполне определенных значениях некоторых параметров системы (и поэтому практически этот случай неосуществим). Изменение этих параметров, вообще говоря, связано с изменением вида дифференциальных уравнений и нарушением консервативности системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление