2. «Универсальная» схема.
Вторым примером общей линейной системы может служить так называемая «универсальная» схема [125], приведенная на рис. 225, или ей эквивалентная (рис. 226), конечно, при условии соответствующей ее идеализации и в частности «линеаризации». Именно, мы будем считать, что характеристики как первой, так и второй лампы прямолинейны. Это предположение, как мы уже неоднократно указывали, имеет смысл только для небольших областей
изменения напряжений на сетках ламп, и поэтому линеаризация лишает нас возможности рассматривать поведение системы во всей области изменения переменных.
Рис. 225.
Но в известной, ограниченной области мы можем считать систему линейной и правильно описать ее поведение в этой области.
Кроме того, мы будем, как делали это и прежде, пренебрегать сеточными токами и анодной реакцией.
Рис. 226.
В результате этих упрощающих предположений мы, исходя из уравнений Кирхгофа, получим для рассматриваемой схемы (в обозначениях рис. 226) следующие уравнения:
(рис. 227). Прежде всего при
мы получим два действительных отрицательных корня, т. е. особую точку типа устойчивого узла. Этого и следовало ожидать, так как при
ламповая группа не играет никакой роли, а в отсутствии электронных ламп в схеме, состоящей из емкостей и сопротивлений, могут происходить только затухающие апериодические движения, т. е. могут существовать только состояния равновесия типа устойчивого узла. Далее, при
коэффициент при
является отрицательным, и следовательно, мы имеем дело с особой точкой типа седла (границей области седла является гипербола
Точкам, лежащим под гиперболой
соответствует особая точка типа узла или фокуса. Устойчивость особой точки в этом случае определяется знаком коэффициента при
Этот коэффициент обращается в нуль на гиперболе
положителен под ней и отрицателен над ней. Поскольку
и гипербола (5.32) лежит под гиперболой
и, следовательно, является границей самовозбуждения схемы.
Рис. 227.
Граница, разделяющая области действительных и комплексных корней (разделяющая области узла и фокуса), определяется условием равенства нулю дискриминанта характеристического уравнения (5.30), т. е. условием
Кривая, определяемая на плоскости параметров
уравнением (5.33), как нетрудно видеть, имеет две ветви, одна из которых (граница неустойчивых узлов и неустойчивых фокусов) проходит между гиперболами (5.32) и
другая — под гиперболой (5.32), но над осью
Если условие самовозбуждения соблюдено и особая точка является неустойчивой, то мы можем лишь утверждать, что система уходит из состояния равновесия, и можем определить характер этого движения, но ничего не можем сказать о дальнейшей судьбе системы, так как мы ограничились линейными уравнениями. Анализ нелинейных уравнений «универсальной» схемы (см. гл. X, § 10) показывает, что при выполнении условий самовозбуждения в схеме устанавливаются автоколебания: непрерывные при к
(или, что то же самое, при
разрывные при
(или при
). Заметим, что в последнем случае рассмотренная нами упрощенная модель не отображает законов движения реальной схемы: вблизи состояния равновесия в этом случае происходят «быстрые» движения, скорости которых определяются не уравнениями (5.29), а малыми паразитными емкостями схемы, и тем больше, чем меньше эти емкости. Поэтому было бы более правильным назвать область
на диаграмме рис. 227 не областью «седла», а областью «быстрых» движений (скачков), уводящих систему от состояния равновесия.