Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. «Универсальная» схема.

Вторым примером общей линейной системы может служить так называемая «универсальная» схема [125], приведенная на рис. 225, или ей эквивалентная (рис. 226), конечно, при условии соответствующей ее идеализации и в частности «линеаризации». Именно, мы будем считать, что характеристики как первой, так и второй лампы прямолинейны. Это предположение, как мы уже неоднократно указывали, имеет смысл только для небольших областей

изменения напряжений на сетках ламп, и поэтому линеаризация лишает нас возможности рассматривать поведение системы во всей области изменения переменных.

Рис. 225.

Но в известной, ограниченной области мы можем считать систему линейной и правильно описать ее поведение в этой области.

Кроме того, мы будем, как делали это и прежде, пренебрегать сеточными токами и анодной реакцией.

Рис. 226.

В результате этих упрощающих предположений мы, исходя из уравнений Кирхгофа, получим для рассматриваемой схемы (в обозначениях рис. 226) следующие уравнения:

причем в линейном приближении (для состояний, близких к состоянию равновесия:

где абсолютное значение крутизны падающего участка характеристики ламповой группы (ламп с общим катодным сопротивлением в рабочей точке (в состоянии равновесия). Дифференцируя первые два уравнения по времени и используя последние два, а также выражение для анодного тока лампы получаем два дифференциальных (линейных) уравнения первого порядка для токов и

или, если ввести

Чтобы определить характер особой точки (состояния равновесия составим характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений (5.29):

Характер корней уравнения (5.30), а следовательно и характер особой точки, зависит от четырех безразмерных параметров схемы Выбирая различные значения этих параметров, можно получить все рассмотренные выше типы особых точек. В дальнейшем мы будем считать переменными параметрами только (первый из них может меняться путем изменения второй — путем изменения положения движка потенциометра ), а параметры — и фиксированными.

Построим разбиение плоскости параметров на области, каждой из которых соответствует определенный тип особой точки

(рис. 227). Прежде всего при мы получим два действительных отрицательных корня, т. е. особую точку типа устойчивого узла. Этого и следовало ожидать, так как при ламповая группа не играет никакой роли, а в отсутствии электронных ламп в схеме, состоящей из емкостей и сопротивлений, могут происходить только затухающие апериодические движения, т. е. могут существовать только состояния равновесия типа устойчивого узла. Далее, при

коэффициент при является отрицательным, и следовательно, мы имеем дело с особой точкой типа седла (границей области седла является гипербола Точкам, лежащим под гиперболой соответствует особая точка типа узла или фокуса. Устойчивость особой точки в этом случае определяется знаком коэффициента при Этот коэффициент обращается в нуль на гиперболе

положителен под ней и отрицателен над ней. Поскольку

и гипербола (5.32) лежит под гиперболой и, следовательно, является границей самовозбуждения схемы.

Рис. 227.

Граница, разделяющая области действительных и комплексных корней (разделяющая области узла и фокуса), определяется условием равенства нулю дискриминанта характеристического уравнения (5.30), т. е. условием

Кривая, определяемая на плоскости параметров уравнением (5.33), как нетрудно видеть, имеет две ветви, одна из которых (граница неустойчивых узлов и неустойчивых фокусов) проходит между гиперболами (5.32) и другая — под гиперболой (5.32), но над осью

Если условие самовозбуждения соблюдено и особая точка является неустойчивой, то мы можем лишь утверждать, что система уходит из состояния равновесия, и можем определить характер этого движения, но ничего не можем сказать о дальнейшей судьбе системы, так как мы ограничились линейными уравнениями. Анализ нелинейных уравнений «универсальной» схемы (см. гл. X, § 10) показывает, что при выполнении условий самовозбуждения в схеме устанавливаются автоколебания: непрерывные при к (или, что то же самое, при разрывные при (или при ). Заметим, что в последнем случае рассмотренная нами упрощенная модель не отображает законов движения реальной схемы: вблизи состояния равновесия в этом случае происходят «быстрые» движения, скорости которых определяются не уравнениями (5.29), а малыми паразитными емкостями схемы, и тем больше, чем меньше эти емкости. Поэтому было бы более правильным назвать область на диаграмме рис. 227 не областью «седла», а областью «быстрых» движений (скачков), уводящих систему от состояния равновесия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление