Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Работа динамомашины на общую нагрузку.

Рассмотрим две одинаковые динамомашины постоянного тока последовательного возбуждения, которые включены параллельно и работают на общую нагрузку (рис. 263). Полагая скорости вращения якорей машин постоянными и одинаковыми и пренебрегая гистерезисными явлениями в магнитных цепях машин, мы можем записать э. д. с. Е каждой из машин в виде некоторой однозначной функции тока I в ее обмотке возбуждения:

Рис. 263.

Рис. 264.

Положим, что характеристика каждой машины имеет вид, приведенный на рис. 264, т. е. что:

1) является непрерывно дифференцируемой нечетной функцией причем при (соответственно при

2) производная и не возрастает при увеличении

т. е. при любых где

Уравнения рассматриваемой системы (в обозначениях рис. 263) напишутся так:

Деля одно уравнение на другое, получим уравнение интегральных кривых:

Состояния равновесия определяются уравнениями

а их характер — корнями характеристического уравнения

коэффициенты которого для состояния равновесия как легко подсчитать, равны:

Заметим, что дискриминант характеристического уравнения

т. е. состояния равновесия рассматриваемой системы могут быть только узлами или седлами.

Прежде всего при любых параметрах системы ее состоянием равновесия является начало координат фазовой плоскости соответствующее невозбужденным режимам обеих машин. Для него Поэтому это состояние равновесия — устойчивый узел при седло при и неустойчивый узел

Для отыскания состояний равновесия, лежащих на биссектрисе (мы будем называть их ради краткости -точками), положим в уравнениях (5.67а) и тогда для координат этих точек получим:

Рис. 265.

Это — как раз нужные состояния равновесия, так как в режимах, им соответствующих, обе машины работают правильно, отдавая наибольшую мощность на сопротивлении Как видно из графического решения уравнения (5.68), приведенного на рис. 265, такие состояния равновесия существуют только при и притом только два: и , где Для -точек: Так как то эти полезные состояния равновесия устойчивы

(устойчивые узлы) лишь при и неустойчивы (седла) при

Если то на другой биссектрисе существуют два состояния равновесия: и Эти «вредные» состояния равновесия (динамомашины работают одна на другую и ток через сопротивление мы будем обозначать как -точки. Координата очевидно, определяется уравнением

т. е. точкой пересечения кривой и прямой (рис. 265). Для -точек: так как Следовательно, -точки, если они существуют, всегда являются устойчивыми узлами.

Посмотрим теперь, какие режимы могут иметь место в рассматриваемой нами системе. Для этого построим «галерею фазовых портретов» системы, считая характеристику машин неизменной, и взяв за параметры системы сопротивления Прежде всего, как это следует из уравнений (5.65),

в точках окружности достаточно большого радиуса. Поэтому каждая такая окружность является циклом без контакта, причем все фазовые траектории идут из бесконечности в область внутри цикла без контакта (т. е. бесконечность абсолютно неустойчива). Отсюда, между прочим, следует, что сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия равна

Далее, в силу симметрии схемы и нечетности функции обе биссектрисы являются интегральными прямыми уравнения (5.66), а весь фазовый портрет симметричен относительно этих прямых; в частности, симметрично друг другу относительно них расположены и состояния равновесия. Поэтому в дальнейшем мы можем ограничиться исследованием вида фазовых траекторий в одном квадранте фазовой плоскости, заключенном между этими интегральными прямыми (мы будем рассматривать их вид в квадранте содержащем положительную полуось О).

Состояния равновесия, как мы уже указывали, являются точками пересечения кривых (5.67а) и (5.676), уравнения которых могут

быть записаны в явной форме:

где

Эти кривые, конечно, симметричны друг другу относительно интегральных прямых Поэтому для отыскания состояний равновесия, лежащих в квадранте (включая его границы), нам достаточно построить кривую (5.67а) для и по ней как зеркальное отражение от прямых кривую (5.676) (последнюю нужно строить только в пределах квадранта Такие построения кривых (5.67а) и (5.676) для различных значений параметров даны на рис. 266 (там сплошной линией изображена кривая (5.67а) при О и пунктирной — ее зеркальные отражения от прямых кривая (5.676) в пределах квадранта

I. . В этом случае (рис. 266, I) и кривая (5.67а) при целиком лежит в квадранте а ее зеркальное отражение от прямой -кривая -Эти кривые нигде, кроме начала координат, не пересекаются, и на фазовой плоскости (рис. 267, I) имеется единственное состояние равновесия — устойчивый узел О. Поскольку других состояний равновесия нет, равно как нет и замкнутых фазовых траекторий, то все фазовые траектории асимптотически приближаются к узлу О, — в системе при любых начальных условиях будет устанавливаться режим, в котором обе машины не возбуждены.

II. . Теперь и кривая (5.67а) вблизи начала координат лежит в квадранте и затем при некотором переходит в квадрант (рис. 266, II). Соответственно, кривая (5.676) лежит в только при пересекаясь с кривой (5.67а) только в начале координат О и в точке Поэтому на фазовой плоскости (рис. 267, II) имеются три состояния равновесия: седло О и два устойчивых узла при

любых начальных условиях в системе устанавливается один из режимов работы машин, при котором они работают друг на друга (одна — генератором, другая — мотором), а ток во внешней цепи равен нулю.

Рис. 266. (см. скан)

III. . Так как то и кривая (5.67а) сначала (при малых идет в квадранте затем при переходит в наконец, при (рис. 266, III). Соответственно кривая (5.676) лежит в только при и при Будем полагать функцию такой, что эти кривые

(кликните для просмотра скана)

не пересекаются внутри квадранта (именно этот случай и изображен на рис. 266, III), это вполне может быть, поскольку гул Тогда на фазовой плоскости мы будем иметь пять состояний равновесия: неустойчивый узел О, два седла и два устойчивых узла (рис. 267, III). Режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь и невозбужденный режим обеих машин оказались неустойчивыми, и в системе при любых начальных условиях опять установится один из режимов работы машин самих на себя.

IV. . В отличие от предыдущего случая здесь и кривые (5.67а) и (5.676) пересекаются внутри квадранта по крайней мере в одной точке. Ниже мы будем рассматривать только тот случай, когда эта точка пересечения единственна (точка на рис. 266, IV), а на фазовой плоскости (рис. 267, IV) имеются девять состояний равновесия: неустойчивый узел О, четыре устойчивых узла и четыре С-точки: На основании теории индексов Пуанкаре нетрудно убедиться, что это — седла. В самом деле, сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия, как мы уже видели, равна известные нам пять состояний равновесия на интегральных прямых (точки суть узлы, и сумма их индексов равна следовательно, сумма индексов четырех -точек должна равняться — 4, т. е. -точки должны быть седлами. Устойчивым стационарным режимам работы машин соответствуют устойчивые узлы т. е. устойчивыми будут и режим правильной работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь и режим работы одной машины на другую. Установление того или иного режима зависит от начальных условий; если начальное состояние системы соответствует какой-либо точке области, ограниченной сепаратрисами (усами седел С) и заштрихованной на рис. 267, IV, то установится режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь.

На рис. 268 приведены бифуркационные кривые, разбивающие плоскость параметров системы (или, точнее, первый квадрант этой плоскости) на области, каждая из которых соответствует определенному типу фазового портрета системы (нумерация областей совпадает с нумерацией частей рис. 267, на которых изображены типы фазовых портретов системы). Бифуркационными кривыми будут: 1) прямая которая отделяет режим от режима II; 2) прямая отделяющая область от области III, и 3) кривая где а определяется уравнением (5.69), — граница области IV, в которой правильный режим работы машин (с отдачей мощности во внешнюю цепь) устойчив. Уравнение последней бифуркационной кривой может быть записано в параметрической форме:

где а — параметр, пробегающий значения от до Нетрудно видеть, что эта кривая проходит через точки (при ) и (при и лежит под прямой

Рис. 268.

Рис. 269.

Итак, мы видим, что параллельное включение динамомашин последовательного возбуждения на общую нагрузку, выполненное по

схеме, приведенной на рис. 263, нельзя признать правильным, ибо оно допускает устойчивую работу машин самих на себя, а режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь устойчив только в ограниченной области параметров (в области IV на рис. 268), в которой существует и устойчив также и режим работы машин самих на себя. Этих недостатков лишена схема перекрестного включения обмоток возбуждения машин, когда обмотка возбуждения одной машины включается последовательно с якорем другой (рис. 269). В этом случае, как легко убедиться (что мы предоставляем читателям), режим работы машин самих на себя как стационарный совсем не существует, а режимы работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь существуют при и устойчивы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление