4. Еще один пример неавтоколебательной системы

Докажем, что система уравнений

встречающаяся в ряде вопросов нелинейной теории колебаний, также не имеет предельных циклов. Эта система имеет интегральными прямыми оси координат и на них три состояния равновесия: Кроме того, если

имеется еще одно состояние равновесия не лежащее на осях координат и определяемое системой уравнений:

Поэтому, если бы система (5.73) имела замкнутую фазовую траекторию, то последняя должна была бы лежать в пределах одного квадранта, содержащего точку не пересекая ни одной из указанных интегральных прямых, и охватывать состояние равновесия Но это невозможно, в чем нетрудно убедиться, применив критерий Дюлака. Возьмем в качестве множителя В функцию где некоторые (пока неопределенные) постоянные. Тогда

Взяв в качестве постоянных решение системы уравнений

т. е.

получим:

в пределах каждого квадранта фазовой плоскости, если только

Следовательно, согласно критерию Дюлака система (5.73) при не имеет замкнутых фазовых траекторий и, в частности, предельных циклов.