Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Элементарные ячейки — области, заполненные неособыми траекториями одинакового поведения.

Рассмотрим теперь совокупность всех особых траекторий данной системы (6.1), которую, как и всюду в настоящем параграфе, будем предполагать заданной в ограниченной области плоскости. Можно показать, что при сделанном нами предположении об аналитичности правых частей системы (6.1) число особых траекторий конечно. Для простейшего случая грубых

систем этот факт может быть просто установлен на основании изложенного в следующем параграфе.

Особые траектории разделяют область О на частичные области, точки которых являются точками неособых (орбитно-устоти-вых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек, принадлежащих особым траекториям, и из точек, граничных для области Мы ограничимся здесь рассмотрением только таких областей, в границу которых не входят граничные точки Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. неособых) траекторий. Кроме того, нетрудно видеть, что граница всякой ячейки состоит из целых особых траекторий. Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области конечно.

Рассмотрим теперь более подробно, как ведут себя неособые траектории одной и той же ячейки. Для этого приведем сначала несколько простых, но очень важных для дальнейшего вспомогательных предложений.

I. Вокруг каждой точки орбитно-устойчивой полутраектории стремящейся к состоянию равновесия О, всегда можно указать такую окрестность, чтобы все проходящие через точки этой окрестности траектории были орбитно-устойчивы при и стремились бы к тому же состоянию равновесия О, что и

Докажем это утверждение. Для этого заметим прежде всего, что вокруг каждой точки очевидно, всегда можно взять столь малую окрестность, чтобы все точки этой окрестности принадлежали той же ячейке, что и следовательно, являлись бы точками орбитноустойчивых траекторий. Кроме того, всегда можно взять столь малым чтобы -окрестность полутраектории кроме состояния равновесия О, к которому стремится полутраектория не содержала бы целиком ни одной орбитно-неустойчивой траектории. Но тогда все полутраектории, проходящие через достаточно малую окрестность любой точки в силу орбитной устойчивости при не выходят из -окрестности L+, а следовательно, предельное множество этих полутраекторий также лежит целиком в -окрестности Но это предельное множество должно состоять из целых особых траекторий, а так как в -окрестности L+ лежит целиком только одна особая целая траектория — состояние равновесия О, то, значит, это предельное множество состоит из одного только состояния равновесия О, что и доказывает утверждение Вокруг каждой точки полутраектории имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при и при имеют то же предельное множество, что и Вокруг каждой точки замкнутой орбитно-устойчивой траектории существует такая окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности орбитно-устойчивые траектории замкнуты и одна лежит внутри другой.

Предложения II и III доказываются рассуждениями, аналогичными проведенному при доказательстве предложения I (с небольшим дополнением), и мы их опускаем.

Используя приведенные вспомогательные предложения, можно доказать ряд теорем, полностью характеризующих поведение траекторий одной и той же ячейки.

Теорема Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же -предельные множества.

Для доказательства теоремы предположим противное, т. е. предположим, что существуют две принадлежащие одной и той же ячейке траектории которых предельные множества при различны.

Соединим какую-нибудь точку А на L и какую-нибудь точку В на L непрерывной дугой целиком лежащей внутри рассматриваемой

ячейки, так что через все точки дуги I проходят орбитно-устойчивые траектории (такая дуга I, очевидно, всегда может быть проведена в силу того, что по предположению траектории принадлежат одной и той же ячейке). Принимая во внимание сформулированные в настоящем параграфе предложения I и II, нетрудно видеть, что на дуге I всегда найдутся точки двух типов: через точки первого типа проходят траектории, имеющие при то же предельное множество, что и траектория L, через точки второго типа — траектории, имеющие при то же предельное множество, что и траектория Очевидно, точками первого типа являются все достаточно близкие к А точки дуги а точками второго типа — все достаточно близкие к В точки При движении по дуге I от точки А к точке В мы должны перейти от точек первого типа к точкам второго типа. Следовательно, на дуге I непременно должна быть точка (обозначим ее через являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой второго типа, либо, наконец, через точку проходит траектория, имеющая при предельное множество, отличное от предельных множеств траекторий Траектория проходящая через точку очевидно, орбитно-устойчива (так как все точки дуги принадлежат орбитно-устойчивым траекториям). Но точка не может быть последней точкой первого типа. Действительно, если бы она была точкой первого типа, т. е. траектория при имела бы то же предельное множество, что и L, то в силу того, что орбитно-устойчива, и в силу предложений I и II настоящей главы все траектории, проходящие через достаточно близкие к точки дуги имели бы то же предельное множество, что и траектория очевидно, точка не могла бы быть последней точкой первого типа. Совершенно так же можно показать, что точка не может быть первой точкой второго типа. Предположим, наконец, что при стремится к предельному множеству, отличному от предельного множества L и от предельного множества Но тогда, в силу предложений I и II, и у всех траекторий, проходящих через достаточно близкие к точки дуги было бы то же предельное множество, что а это, очевидно, означает, что точка не могла бы быть первой точкой не первого типа, что противоречит сделанному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.

Рассуждением, полностью аналогичным проведенному при доказательстве последней теоремы, можно доказать следующую теорему:

Теорема VI. Если внутри какой-нибудь ячейки существует хоть одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой, и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке.

Приведенные теоремы в общем виде устанавливают тот факт, который мы охарактеризовали словами: «неособые траектории внутри

каждой ячейки ведут себя одинаковым образом», и вносят точный смысл в эти слова. Очевидно, это не имеет места для тех траекторий, которые мы назвали особыми.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление