Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Односвязные и двухсвязные ячейки.

Естественно поставить теперь вопрос о том, какие возможны типы отдельных ячеек у рассматриваемых нами динамических систем. Именно, так же как мы говорим о топологической структуре разбиения на траектории области плоскости О, в которой определена динамическая система, можно говорить о топологической структуре разбиения на траектории отдельной ячейки и интересоваться вопросом о классификации ячеек по топологической структуре их разбиения на траектории. При этом мы можем рассматривать либо ячейку как таковую, либо ячейку вместе с границей (состоящей из целых особых траекторий), т. е. замкнутую ячейку, являющуюся замкнутой областью (для. целей качественного исследования больший интерес представляет рассмотрение именно ячеек вместе с границей).

Не останавливаясь подробно на вопросе такой классификации ячеек, мы все же приведем (без доказательств) основные относящиеся сюда предложения.

Основной топологической характеристикой всякой области, а значит, в частности, и ячейки, является число связности, и вопрос, естественно возникающий первым, — это какова связность, возможная у ячеек.

Следующая теорема, которую мы формулируем без доказательства, дает ответ на этот вопрос.

Теорема VII. Всякая ячейка не более чем двухсвязна.

Нетрудно видеть, что ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двухсвязны. Это непосредственно следует из теоремы VI и того факта, что внутри замкнутой траектории всегда лежит состояние равновесия. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями, могут быть как односвязными, так и двухсвязными.

Приведем без доказательства еще одну теорему, в которой устанавливается весьма существенное свойство границ двухсвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями.

Теорема VIII. В случае, когда ячейка, заполненная незамкнутыми траекториями, двухсвязна, один из ее граничных континуумов является -предельным, а другой — -предельным множеством для траекторий этой ячейки.

Таким образом, в случае двухсвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями, у ячейки не может быть ни одной граничной точки, не являющейся предельной для траекторий этой ячейки.

Используя приведенные теоремы, можно исчерпывающим образом описать границы, возможные у ячеек, и установить условия (геометрически эти условия представляются очевидными), при которых две ячейки, рассматриваемые без границ или вместе с границами, имеют одинаковую топологическую структуру разбиения на траектории. Однако это рассмотрение выходит за рамки настоящей книги.

В следующем параграфе будет дана исчерпывающая классификация замкнутых ячеек в случае так называемых «грубых» систем. В настоящем же параграфе мы ограничимся только тем, что приведем несколько (геометрических) примеров односвязных и двухсвязных ячеек.

Примеры односвязных областей даны на рис. 300 и 301 (см. также рис. 306 и 309). Примеры двухсвязных областей даны на рис. 302 и 303 (см. также рис. 305). Жирными линиями на этих рисунках обозначены особые траектории, входящие в границы ячейки.

В заключение остановимся еще в общих чертах, не приводя никаких доказательств, на вопросах, касающихся полного качественного исследования данной динамической системы в области

Особые траектории разделяют область на частичные области именно на ячейки и частичные области, в границу которых входят точки границы О.

Рис. 300.

Рис. 301.

Если мы будем знать топологическую структуру разбиения на траектории всех этих частичных областей и, кроме того, будем знать их взаимное расположение, то мы будем считать законченным качественное исследование рассматриваемой динамической системы в области G.

Рис. 302

Рис. 303.

Очевидно, для того чтобы знать взаимное расположение частичных областей, необходимо знать расположение особых траекторий и поведение траекторий в ячейках.

Можно показать, что если известен характер каждого состояния равновесия, известно взаимное расположение предельных множеств (состояний равновесия, предельных циклов и предельных множеств типа III; см. § 1), а также расположение сепаратрис, не являющихся предельными, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е.

позволяет полностью установить топологическую структуру разбиения на траектории в области G.

Доказательство этого факта, основного в вопросе качественного исследования динамических систем и являющегося геометрически совершенно наглядным, хотя и элементарно по идее, но все же далеко выходит за рамки настоящей книги. В следующем параграфе мы вернемся к этому вопросу при рассмотрении грубых систем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление