Главная > Разное > Теория колебаний (Андронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Поведение сепаратрисы седел в грубых системах.

Перейдем теперь к рассмотрению особых траекторий еще одного типа, возможного в грубых системах, именно сепаратрис седел. Требование грубости накладывает ограничения также и на характер сепаратрис. Если сепаратриса седла О, стремящаяся к этому седлу при при также стремится к седлу (отличному от О или к тому же седлу О), то мы будем коротко говорить, что эта сепаратриса «идет из седла в седло».

Теорема IV. В грубых системах не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.

Для доказательства теоремы предположим противное, т. е. предположим, что у системы являющейся грубой, существует сепаратриса, либо идущая из одного седла О в другое седло О (см., например, рис. 299), либо возвращающаяся в то же седло (см., рис. 293).

Рассмотрим первый случай (случай, когда сепаратриса возвращается в то же самое седло, рассматривается совершенно аналогично). Обозначим через L сепаратрису системы идущую из седла О в седло О.

Рассмотрим измененную систему вида:

Будем называть эту систему системой Нетрудно видеть, что система имеет состояния равновесия в тех же точках, что и система (и только в этих точках). Действительно, мы можем иметь одновременно

лишь в случае, когда одновременно

Тангенс угла между касательными в данной точке к траектории системы и к траектории системы очевидно, будет:

т.е. один и тот же во всех точках области О.

Мы будем говорить, что векторное поле, заданное системой повернуто на постоянный угол (положительный или отрицательный в зависимости от знака а) по отношению к векторному полю, заданному системой

В силу сказанного выше точки являются состояниями равновесия также и системы В силу того, что по предположению система является грубой, точки должны быть седлами системы системы должна существовать сепаратриса идущая из седла О в седло О. Всегда можно взять столь малое , чтобы -окрестность L не содержала кроме больше ни одного состояния равновесия системы следовательно, ни одной замкнутой траектории целиком (см. следствия I и II из теории индексов и § 8 гл. V), а также не содержала бы кроме L целиком ни одной сепаратрисы седел системы При всех достаточно малых а сепаратриса системы будет целиком лежать в этой -окрестности При этом сепаратрисы могут либо иметь, либо не иметь общих точек.

Предположим сначала, что они не имеют общих точек, и рассмотрим простую замкнутую кривую состоящую из и седел Эта замкнутая кривая, очевидно, целиком лежит в выбранной -окрестности Сепаратриса системы очевидно, является «дугой без контакта» для траекторий системы (так как поле системы повернуто на постоянный угол по отношению к полю системы так что все траектории системы пересекают в одном и том же направлении. Среди пересекающих траекторий системы заведомо существуют траектории, отличные от сепаратрис седел Пусть V — такая траектория. Очевидно, в точке ее пересечения с либо при возрастании, либо при убывании входит внутрь Предположим, например, что входит внутрь при возрастании При дальнейшем возрастании она больше уже не может выйти из так как она не может пересечь так же как и L, является траекторией системы и не может пересечь выходя из (так как тогда она должна бы пересечь в противоположном направлении). Следовательно, при должна стремиться к предельному множеству, целиком лежащему в значит, в выбоанной -оквестности Но в этой окрестности не может лежать никакое предельное множество. Действительно, по самому выбору этой окрестности в ней не лежит ни одно отличное от состояние оавновесия и целиком, ни одна замкнутая траектория системы (А); в ней не может также лежать и предельное множество типа III (см. п. 5 § 2 настоящей главы), так как нетрудно показать, что во всякое такое предельное множество должна непременно входить еще по крайней мере одна отличная от L сепаратриса седла О или О, а в рассматриваемой -окрестности L кроме не лежит целиком больше ни одна сепаратриса.

Мы приходим, таким образом, к противоречию, и следовательно, в рассматриваемом случае теорема доказана.

В случае, когда имеют общие точки, мы. рассмотрим простую замкнутую кривую состоящую из точки О и частей траекторий между точкой О и ближайшей их общей точкой (или частей траекторий L и между двумя последовательными общими точками), и, рассуждая совершенно аналогично предыдущему докажем утверждение леммы также и в этом случае.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление