ÃËÀÂÀ ×ÅÒÂÅÐÒÀß. ÈÄÅÀËÜÍÛÅ È ÐÅÀËÜÍÛÅ ÃÀÇÛ À. ÈÄÅÀËÜÍÛÉ ÃÀÇ È ÂÛÐÎÆÄÅÍÈÅ ÃÀÇÀ
47. ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÒÅÃÐÀË È ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÓÌÌÀ ÄËß ×ÀÑÒÈÖ
Ïîä èäåàëüíûì ãàçîì ïîíèìàåì ñèñòåìó ìíîãèõ îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðûõ â ñðåäíåì íàñòîëüêî ìàëà, ÷òî ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé îòäåëüíûõ èçîëèðîâàííûõ ÷àñòèö åþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèé ìûñëèìûé ñëó÷àé, à èìåííî, îäèí àòîì ãàçà â êóáè÷åñêîì ÿùèêå ñ äëèíîé ðåáðà
Âû÷èñëèì äëÿ íåãî êëàññè÷åñêèé ñòàòèñòè÷åñêèé èíòåãðàë è êâàíòîâóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó.
Ïðè êëàññè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà èìååò âèä:
Îòñþäà ïîëó÷àåì (ñì. § 35, á)
Èç øåñòè ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ
èçìåíÿþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà îò
äî
ïåðåìåííûå õ, ó, z ââèäó íàëè÷èÿ ñòåíêè èçìåíÿþòñÿ â èíòåðâàëå îò
äî
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
èìååì:
ãäå
äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåìïåðàòóðå
(ñì. § 35,â):
Ïðè êâàíòîâîì ðàññìîòðåíèè â ñîîòâåòñòâèè ñ âûâîäîì, ïðèâåäåííûì â § 42 è áîëåå ïîäðîáíî îáîñíîâàííûì â § 46, èìååì:
ãäå
ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:
Êðîìå òîãî,
äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì; â íàøåì ñëó÷àå (ýòèì ìû ó÷èòûâàåì âëèÿíèå ñòåíêè)
íà ãðàíèöå, ò. å. ïðè
Íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå äàííûì óñëîâèÿì, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
ñ ëþáûìè ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè
(Çàìåíà çíàêà ïåðåä
ïðèâåëà áû ëèøü ê èçìåíåíèþ çíàêà ïåðåä
íî íå ïðèâåëà áû ê îïèñàíèþ íîâîãî
ñîñòîÿíèÿ). Äàííûì çíà÷åíèÿì
ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
Ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì
îò 1 äî
.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:
Ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîé òåìïåðàòóðå
ñóììèðîâàíèå ìîæíî çàìåíèòü èíòåãðèðîâàíèåì.
Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî
âíîâü ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (47.1)
(ñ ó÷åòîì
).
Äëÿ ðàñ÷åòà ÷àñòî áîëåå óäîáíî çàìåíèòü óñëîâèå
íà ãðàíèöå äðóãèì óñëîâèåì:
ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ ñ ïåðèîäîì
ò. å. äëÿ ëþáûõ öåëûõ ÷èñåë
äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå
Òîãäà â êà÷åñòâå îñíîâíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (47.2) èñïîëüçóþò óðàâíåíèå «ïëîñêîé âîëíû»
Äëÿ êîìïîíåíòîâ
óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè äîïóñêàåò ëèøü çíà÷åíèÿ
ñ öåëûìè ïîëîæèòåëüíûìè èëè îòðèöàòåëüíûìè ÷èñëàìè
Òåì ñàìûì èìååì:
Òåïåðü âìåñòî (47.4) ïîëó÷àåì:
 ýòîì óðàâíåíèè â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè ñòîèò
à íå
êàê â óðàâíåíèè (47.4). Êðîìå òîãî, ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ òåïåðü îò
äî
Åñëè ñíîâà çàìåíèòü
íà
òî è â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì âûðàæåíèå
Âûïîëíÿÿ ïåðåõîä îò ñóììû ê èíòåãðàëó â âûðàæåíèè äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû, ïîëó÷àåì:
ãäå
äàåò ÷èñëî ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé â èíòåðâàëå
Íî â ñîîòâåòñòâèè ñ (47.5) âûðàæåíèå
ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî óðîâíåé ñ ýíåðãèåé, ìåíüøåé
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èì:
 ñâÿçè ñ âûðàæåíèåì
ñíîâà ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (47.4à).