Ãëàâíàÿ > Ðàçíîå > Òåîðèÿ òåïëîòû (Áåêêåð P.)
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

ÃËÀÂÀ ×ÅÒÂÅÐÒÀß. ÈÄÅÀËÜÍÛÅ È ÐÅÀËÜÍÛÅ ÃÀÇÛ À. ÈÄÅÀËÜÍÛÉ ÃÀÇ È ÂÛÐÎÆÄÅÍÈÅ ÃÀÇÀ

47. ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÒÅÃÐÀË È ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÓÌÌÀ ÄËß ×ÀÑÒÈÖ

Ïîä èäåàëüíûì ãàçîì ïîíèìàåì ñèñòåìó ìíîãèõ îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðûõ â ñðåäíåì íàñòîëüêî ìàëà, ÷òî ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé îòäåëüíûõ èçîëèðîâàííûõ ÷àñòèö åþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîñòåéøèé ìûñëèìûé ñëó÷àé, à èìåííî, îäèí àòîì ãàçà â êóáè÷åñêîì ÿùèêå ñ äëèíîé ðåáðà Âû÷èñëèì äëÿ íåãî êëàññè÷åñêèé ñòàòèñòè÷åñêèé èíòåãðàë è êâàíòîâóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ ñóììó.

Ïðè êëàññè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà èìååò âèä:

Îòñþäà ïîëó÷àåì (ñì. § 35, á)

Èç øåñòè ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ èçìåíÿþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà îò äî ïåðåìåííûå õ, ó, z ââèäó íàëè÷èÿ ñòåíêè èçìåíÿþòñÿ â èíòåðâàëå îò äî Ó÷èòûâàÿ, ÷òî èìååì:

ãäå äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåìïåðàòóðå (ñì. § 35,â):

Ïðè êâàíòîâîì ðàññìîòðåíèè â ñîîòâåòñòâèè ñ âûâîäîì, ïðèâåäåííûì â § 42 è áîëåå ïîäðîáíî îáîñíîâàííûì â § 46, èìååì:

ãäå ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:

Êðîìå òîãî, äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì; â íàøåì ñëó÷àå (ýòèì ìû ó÷èòûâàåì âëèÿíèå ñòåíêè) íà ãðàíèöå, ò. å. ïðè Íîðìèðîâàííîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå äàííûì óñëîâèÿì, èìååò ñëåäóþùèé âèä:

ñ ëþáûìè ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè (Çàìåíà çíàêà ïåðåä ïðèâåëà áû ëèøü ê èçìåíåíèþ çíàêà ïåðåä íî íå ïðèâåëà áû ê îïèñàíèþ íîâîãî

ñîñòîÿíèÿ). Äàííûì çíà÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

Ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì îò 1 äî .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:

Ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîé òåìïåðàòóðå ñóììèðîâàíèå ìîæíî çàìåíèòü èíòåãðèðîâàíèåì.

Âñëåäñòâèå òîãî ÷òî

âíîâü ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (47.1)

(ñ ó÷åòîì ).

Äëÿ ðàñ÷åòà ÷àñòî áîëåå óäîáíî çàìåíèòü óñëîâèå íà ãðàíèöå äðóãèì óñëîâèåì: ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ ñ ïåðèîäîì ò. å. äëÿ ëþáûõ öåëûõ ÷èñåë äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå

Òîãäà â êà÷åñòâå îñíîâíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (47.2) èñïîëüçóþò óðàâíåíèå «ïëîñêîé âîëíû»

Äëÿ êîìïîíåíòîâ óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè äîïóñêàåò ëèøü çíà÷åíèÿ

ñ öåëûìè ïîëîæèòåëüíûìè èëè îòðèöàòåëüíûìè ÷èñëàìè Òåì ñàìûì èìååì:

Òåïåðü âìåñòî (47.4) ïîëó÷àåì:

 ýòîì óðàâíåíèè â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè ñòîèò à íå êàê â óðàâíåíèè (47.4). Êðîìå òîãî, ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ òåïåðü îò äî Åñëè ñíîâà çàìåíèòü íà òî è â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì âûðàæåíèå

Âûïîëíÿÿ ïåðåõîä îò ñóììû ê èíòåãðàëó â âûðàæåíèè äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû, ïîëó÷àåì:

ãäå äàåò ÷èñëî ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé â èíòåðâàëå Íî â ñîîòâåòñòâèè ñ (47.5) âûðàæåíèå

ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî óðîâíåé ñ ýíåðãèåé, ìåíüøåé Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èì:

 ñâÿçè ñ âûðàæåíèåì

ñíîâà ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (47.4à).

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå