Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. Конформные преобразования

Инфинитезимальное точечное преобразование

определяет конформное преобразование в если угол между двумя направлениями в системе равен углу между

соответствующими направлениями в системе с точностью до членов высшего порядка относительно Ы. Имеем

и

и так как угол 6 есть скаляр, то первая из этих формул может быть написана в виде

где суть компоненты фундаментального метрического тензора в координатной системе уравнения рассматриваются как преобразование координат

Итак, необходимое и достаточное условие, чтобы было инфинитезимальным конформным преобразованием, заключается в выполнении равенств

или

или

Если мы предположим, что векторное поле определяет инфинитезимальное конформное преобразование, то будем иметь

Фундаментальная формула (2.69) дает

или

Следовательно, если

то при

Более того, если отрицательно определенная форма, то из (2.73) заключаем, что

Получается следующая теорема;

Теорема 2.14. Если в компактном ориентируемом римановом многообразии для векторного поля определяющего конформное преобразование, удовлетворяется соотношение

то непременно

и автоматически

Таким образом, условиям теоремы удовлетворяют только раллельные векторные поля, а в случае отрицательно определенной кривизны Риччи — только нулевые векторные поляу и, следовательно, в этом случае не существует однопараметрических непрерывных групп конформных преобразований (Бохнер [2] Яно [3].)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление