Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Конформно-киллингов тензор

Если векторное поле определяет однопараметрическую группу конформных преобразований, то

где следовательно, мы имеем

вдоль любой геодезической и потому зависит только от точки, но не от направления геодезической, через нее проходящей.

С целью получения аналогичного свойства для антисимметричного тензора допустим, что выражение

зависит только от точки, но не от направления геодезической, через нее проходящей; тогда из (3.21) получим

где

Антисимметричное тензорное поле удовлетворяющее уравнению (3.22), будет называться конформно-киллинговым. Из (3.22) получается

и, следовательно,

откуда в силу уравнения (3.17)

Получена, следовательно,

Теорема 3.6. В компактном ориентируемом римановом многообразии для поля конформно-киллингова тензора валентности удовлетворяющего неравенству

выполняется равенство

и автоматически

В частности, если форма отрицательно определенная, то не существует поля конформно-киллингова тензора валентности отличного от нулевого (Яно [4]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление