Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Необходимое и достаточное условие того, чтобы антисимметричный тензор был гармоническим или киллинговым

Если мы введем символ

(часто обозначаемый то для гармонического тензора будем иметь

(см. (3.5)). Мы покажем, что для компактного риманова многообразия справедливо и обратное.

Для скаляра

мы имеем

и потому, интегрируя по всему многообразию, получим

Умножая равенство (3.18) на и вычитая полученное из (3.24), находим

что можно также записать в виде

и потому, если должно быть

Теорема 3.7. Для того, чтобы в компактном ориентируемом римановом многообразии антисимметричное тензорное поле

было гармоническим, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло соотношению

Для тензора Киллинга аналогом формы будет форм

(cp. (3.8)); мы покажем, что на компактном римановом многообразии из условий

и

следует, что тензор -киллингов. Действительно, аналогично (3.26) найдем

откуда и следует наше заключение.

Теорема 3.8. Для того, чтобы в компактном ориентируемом римановом многообразии антисимметричное тензорное поле было полем тензора Киллинга, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло соотношению [4]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление