Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава V. ОТКЛОНЕНИЕ МНОГООБРАЗИЯ ОТ ПЛОСКОГО

1. Отклонение от постоянства кривизны

Если

то для антисимметричного тензора величина

является положительной постоянной.

Сделаем теперь более общее предположение, именно предположим, что

для всякого антисимметричного тензора причем величины являются постоянными. Если мы положим

где два единичных взаимно ортогональных вектора, то получим из (5.2)

где есть кривизна в двумерном направлении, определяемом векторами

Теперь для единичных векторов ортогональных вектору и между собой, имеем

Из этого и из того, что получаем

Отсюда вытекает, что

для любого вектора и, следовательно,

для любого антисимметричного тензора Кроме того, из (5.2) следует, что

Таким образом, из (5.4) и (5.5) мы получим

или

и при

эта форма является положительно определенной. Так как мы имеем

то можно утверждать, что при

форма является положительно определенной для Таким образом, применяя теорему 3.4, мы получим следующую теорему:

Теорема 5.1. Если в компактном ориентируемом римановом многообразии тензор кривизны удовлетворяет условию

для любого антисимметричного тензора где В является постоянной величиной, то все числа Бетти этого многообразия равны нулю (Бохнер и Яно [1]).

Этот результат может быть сравнен с новым результатом Рауча [1].

Теперь если мы допустим, что

для всех антисимметричных тензоров то

и для

эта форма будет отрицательно определенной.

Таким образом, применяя теорему 3.5, получим следующую теорему:

Теорема 5.2. Если в компактном римановом многообразии тензор кривизны удовлетворяет условию

для любого антисимметричного тензора где А является постоянной величиной, то не существует отличного от нуля тензора Киллинга валентности при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление