Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VI. ПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП

1. Пространства полупростых групп

Рассмотрим компактное пространство полупростой группы. Уравнения Маурера-Картана запишем в виде

где структурные константы группы (Эйзенхарт [2]). Положим

Так как для полупростой группы ранг матрицы равен и так как групповое пространство компактно, то квадратичная форма положительно определена. Обозначая через матрицу, обратную матрице мы можем использовать величины для поднятия и опускания индексов Умножая тождество Якоби

на и свертывая по получим

откуда видно, что величины антисимметричны относительно всех индексов Если мы положим

и обозначим через матрицу, обратную матрице то будем иметь

где

И квадратичная дифференциальная форма

положительно определена. Мы вносим эту метрику в наше пространство полупростой группы.

Так как то из (6.1) получим

где мы положили

причем есть тензор, ковариантные компоненты которого антисимметричны относительно всех индексов. Принимая во внимание (6.3) и (6.4), подсчитаем символы Кристоффеля построенные с помощью тензора Непосредственным вычислением находим

Обозначая точкой с запятой ковариантное дифференцирование относительно находим

и, следовательно,

Уравнения (6.10) показывают, что следовательно, векторы определяют параллельные перенесения в нашем пространстве.

Из соотношений (6.8), применяя тождество Якоби, находим

Если теперь мы положим

то из (6.7) и (6.9) получим

откуда

Тензор кривизны, образованный с помощью коэффициентов аффинно рвязности равен нулю, и мы имеем

откуда, используя (6.12) и тождество Якоби, находим

или

Умножая это уравнение на и свертывая по находим

причем здесь использованы соотношения

Таким образом, наше пространство является пространством Эйнштейна с положительной скалярной кривизной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление