Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Интегральные формулы

В этом разделе мы рассмотрим компактное ориентируемое метрическое многообразие с кручением и предположим, что тензор кручения удовлетворяет условию

Это условие удовлетворяется автоматически, если ковариантный тензор кручения антисимметричен по всем индексам. Во-первых, для всякого вектора имеем

откуда в силу (7.40)

где детерминант матрицы Таким образом, для всякого векторного поля мы имеем

где интеграл берется по всему многообразию, есть элемент объема.

Применяя сначала эту формулу к вектору найдем

или

в силу тождества Риччи

Применяя далее эту формулу к вектору получим

и, следовательно,

Если вектор псевдогармонический, то последнее уравнение приобретает вид

что дает другое доказательство теоремы 7.9 для компактного ориентируемого метрического многообразия с кручением, удовлетворяющим условию

Если вектор — псевдокиллингов, то уравнение (7.45) принимает

что дает другое доказательство теоремы 7.14 для компактного ориентируемого метрического многообразия с кручением, удовлетворяющим тому же условию.

Обобщение формулы (7.45) на случай антисимметричного тензора приводит к формуле

при помощи которой теоремы 7.13 и 7.15 могут быть снова доказаны для случая

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление