Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Обобщение

Теорема 7.4 может, очевидно, быть обобщена следующим образом:

Теорема 7.19. Если в компактном метрическом многообразии с кручением для скаляра и вектора имеет место соотношение

то

Внося сюда значение выражения мы можем получить следующую теорему:

Теорема 7.20. В компактном метрическом многообразии С кручением для цсевдогармонтеского вектора произвольного

векторного поля не может выполняться неравенство

если только не имеет места соответствующее равенство.

Точно так же для псевдокиллингова вектора и произвольного векторного поля не может выполняться неравенство

если только не имеет места соответствующее равенство.

В частном случае, когда тензор кручения удовлетворяет уравнениям вида

мы имеем:

Теорема 7.21. Если в компактном метрическом многообразии с тензором кручения удовлетворяющим уравнениям вида (7.54), квадратичная форма является неположительно определенной, то каждый псевдокиллингов вектор должен иметь равные нулю ковариантные производные относительно коэффициентов аффинной связности многообразия.

Если форма является отрицательно определенной, то не существует псевдокиллингова вектора, отличного от нуля.

Заметим, что если тензор имеет вид то условия (7.54) удовлетворены.

Такое неспециализированное векторное поле можно также ввести подходящим образом в условия теорем 7.13 и 7.15 без изменения формулировок этих теорем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление