Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Аналитические тензоры

Если компоненты самоприсоединенного тензора смешанного типа являются комплексно аналитическими функциями координат то мы снова имеем

Напишем тождество Риччи:

свернув его с и использовав равенство (8.62), получаем

Если мы положим теперь

то получим

Пользуясь равенством (8.63), находим

где

Отсюда получаем следующее заключение:

Теорема 8.9. Пусть на компактном кэлеровом многообразии комплексно аналитические компоненты

самоприсоединенного тензора смешанного типа удовлетворяют неравенству

тогда имеют место равенства

и

Это утверждение справедливо не только для тензорных полей, удовлетворяющих условию

но также для тех, которые удовлетворяют условию

(Бохнер [11]).

Далее, если в каждой точке многообразия мы обозначим через соответственно наибольшее и наименьшее собственное значение матрицы то найдем

и получим следующее утверждение:

Теорема 8.10. Если имеют только что указанный смысл и если

то каждое комплексно аналитическое тензорное поле смешанного типа

должно удовлетворять равенству

Если же всюду и где-либо имеет место строгое неравенство то не существует аналитических тензорных полей смешанного типа

отличных от нуля (Бохнер [11]).

Из этой теоремы вытекает следующее утверждение: Теорема 8.11. Если компактное кэлерово многообразие есть многообразие Эйнштейна

то при не существует отличных от нуля аналитических тензорных полей типа

а при не существует отличных от нуля аналитических тензорных полей типа

При этом в обоих случаях все аналитические тензорные поля

имеют ковариантные производные, равные нулю.

Также и при все аналитические, тензоры имеют ковариантные производные, равные нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление