Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Выпуклость

Если риманово многообразие изометрически погружено в эвклидово то на существует симметричных тензоров таких, что для тензора кривизны будет иметь место представление

Примем теперь более общее допущение, что для нашего тензор кривизны имеет указанное представление в окрестности каждой точки с тензорами определенными только в каждой отдельной окрестности; условимся на минуту называть внутренне полувыпуклым, если все — неотрицательно определенные, и внутренне выпуклым, если хотя бы один из этих тензоров положительно определенный. Можно также ограничиться в случае полувыпуклости более общим предположением, что в каждой окрестности тензор является лишь пределом, в смысле равномерной сходимости, выражений вида (9.9), в которых каждый из тензоров - неотрицательно определенный.

Теперь, рассматривая выражение

для тензора кривизны вида (9.9), мы получим как следствие теоремы 3.4 следующее утверждение:

Теорема 9.3. Если компактное ориентируемое риманово многообразие внутренне выпукло, то первые два числа Бетти равны нулю, если многообразие полувыпукло, то гармонические векторы и тензоры должны иметь ковариантные производные, равные нулю.

Если в то можно даже высказать следующее утверждение о всех числах Бетти:

Теорема 9.4. Если компактное ориентируемое риманово многообразие изометрически выпукло погружено в эвклидово и если наибольшая и наименьшая главные кривизны отличаются не более чем в два раза, то все числа Бетти равны нулю.

Эта теорема формулировалась у Лихнеровича [9] и также может быть получена из теоремы 5.1 настоящей книги.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление