Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Минимальные многообразия

Если мы допустим, что все тензоры в (9.9) отрицательно определенные, то не сможем извлечь из этого непосредственных выводов, по крайней мере для вещественных многообразий, которые

мы сейчас рассматриваем. Можно, однако, прийти к некоторому заключению, если допустить, что имеют место равенства

так как в этом случае мы будем иметь

где

Условимся теперь временно говорить, что внутренне минимально, если в окрестности каждой точки возможно представление (9.9), причем выполняются условия (9.10); будем говорить, что внутренне строго минимально, если в каждой точке по крайней мере один из тензоров имеет отличный от нуля определитель. Теперь может быть сформулирована

Теорема 9.5. Если компактное риманово внутренне строго минимально, то на нем не существует полей векторов Киллинга и, следовательно, однопараметрических групп движений. Если многообразие минимально, то единственные группы движений — параллельные переносы, причем их траектории должны быть геодезическими не только в но и в локально включающем его в себя (Бохнер [2]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление