Главная > Математика > Кривизна и числа Бетти
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Параллельное перенесение

Если V — контравариантный вектор в точке и его значение в бесконечно близкой точке то, как мы знаем, величины

являются компонентами контравариантного вектора.

Если то говорят, что вектор в точке и вектор в точке параллельны между собой или что вектор в точке получен из вектора в точке параллельным перенесением. Это определение инвариантно относительно замены координат. Аналогичное определение применимо к любому тензору.

Если мы сравним уравнения

для параллельного перенесения вектора вдоль кривой с дифференциальными уравнениями геодезических

то увидим, что касательная к геодезической переносится параллельно вдоль геодезической.

Так как то легко видеть, что длина вектора и угол между двумя векторами являются инвариантами при параллельном перенесении этих векторов.

Если мы хотим перенести параллельно вектор из точки в точку находящуюся на конечном расстоянии от то сначала мы должны выбрать кривую соединяющую две точки (следовательно, такую, что и проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (1.77) при начальных условиях Если мы обозначим решение этой системы через то будет вектором, который получен параллельным перенесением вектора из точки в точку вдоль кривой

Таким образом, параллелизм зависит от кривой, соединяющей начальную и конечную точки.

Если параллелизм векторов не зависит от кривой, соединяющей начальную и конечную точки, то в каждой точке многообразия мы имеем один и только один вектор параллельный данному вектору в точке и дифференциальные уравнения

будут удовлетворены для любой кривой. Следовательно, имеем

откуда в силу (1.43) получим

Таким образом, если параллелизм любого вектора не зависит от кривой, вдоль которой вектор переносится, то написанные выше Уравнения должны удовлетворяться для любых и мы должны иметь

Следовательно, многообразие доджно быть локально эвклидовым,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление