7.10. КРИТЕРИЙ ДЛЯ НЕЗАПОЛНЕННОЙ ТРАЕКТОРИЯМИ ОБЛАСТИ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Продолжим рассмотрение игр, описываемых уравнениями (7.4.1). Начальные условия задаются на поверхности которая может быть терминальной или какой-нибудь другой поверхностью, возникающей в процессе решения и играющей аналогичную роль. Предположим, что на имеется кривая на которой меняет свое значение, т. е. функция А должна изменить знак при переходе через (если не на то по крайней мере в окрестности ее)

Тогда на каждой стороне кривой существует семейство траекторий, исходящих из Вообще говоря, эти семейства либо взаимно пересекаются, образуя таким образом рассеивающую поверхность, как было установлено в гл. 6 (см. рис. 6.5.1), либо они расходятся, оставляя пустую, свободную от траекторий область между ними, указывающую на наличие универсальной поверхности (см. рис. 7.5.1). Мы хотим найти критерий, позволяющий различать эти возможности.

Обозначим

где

Теорема 7.10.1. Если при описанных выше обстоятельствах функция существует в в окрестности поверхности и имеет непрерывные частные производные, причем есть область, незаполненная траекториями, то на

Доказательство. В точках из У, лежащих в окрестности поверхности функция А непрерывна и меняет знак на некоторой поверхности, проходящей через поэтому А

уменьшается при прохождении х через эту поверхность со стороны, где на сторону, где Если траектории с этих двух сторон оставляют пустую область, то на функция А должна с увеличением возрастать на первой стороне быстрее, чем на второй.

Эти скорости возрастания нельзя сравнивать с помощью А, ибо, как следует из (7.4.6), А не зависит от

Мы должны исследовать вторую производную вычисленная вдоль тех же самых кривых, она оказывается равной где определяется формулой (7.10.1), а имеет аналогичный вид. Поскольку А при должна быть больше (или по крайней мере равна), чем при мы получаем (7.10.2).

Следствие (7.10.1). Условие (7.10.2) должно выполняться всюду на -универсальных поверхностях, возникающих в случае линейных вектограмм.

Действительно, мы можем пересечь универсальную поверхность произвольной гладкой поверхностью и, используя значения V на ней в качестве начальных условий, заставить ее играть роль поверхности потому что решение в области, не содержащей прежнее совпадает с первоначальным. Пересечение ее с универсальной поверхностью есть условие (7.10.2) здесь выполняется; следовательно, оно должно выполняться всюду на универсальной поверхности.

Разумеется, если бы оказалось, что мы могли бы искать производные от А более высокого порядка. Но мы не будем так поступать. При попытке описать условия минимума в терминах производных возникают классические затруднения. А рассматривая конкретную задачу, мы можем взять условие в качестве сильного критерия для универсальной поверхности и ожидать, что выполнение противоположного условия на означает наличие рассеивающей поверхности. Типичным является пример 7.5.1.

Упражнение 7.10.1. Показать, что в примере 7.5.1

таким образом, «гребни» на рис. 7.3.5 удовлетворяют условию (7.10.2), а «долина» — нет.