Главная > Математика > Группы петель
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Комплексные группы

Если группа Ли G является комплексным многообразием, а закон умножения голоморфное отображение, то G называется комплексной группой Ли. Наиболее очевидным примером является группа всех обратимых комплексных -матриц. Алгебра Ли комплексной группы Ли есть комплексное векторное пространство, а скобка является комплексно-билинейной. Обратно, каждая такая комплексная алгебра Ли всегда возникает из комплексной группы Ли.

Каждая алгебра Ли обладает комплексификацией Если алгебра Ли группы то комплексная группа соответствующая и содержащая G как подгруппу, называется комплексификацией группы Такая комплексификация не обязана существовать.

Пример. Группа вещественных -матриц с определителем единица имеет в качестве комплексификации группу Но группа односвязна, в то время как фундаментальная группа есть (каждая петля в обладает числом вращения, которое определяется как число вращения ее первого столбца, являющегося ненулевым вектором в Поэтому есть односвязная накрывающая группа такая, что ядро проекции равно Если бы была комплексификация, она обязательно была бы накрывающей группой группы что невозможно, поскольку односвязна. Мы можем выразить тот же факт по-другому, сказав, что ядро любого гомоморфизма из G в комплексную группу должно содержать подгруппу (в частности, нет точных конечномерных представлений

Однако если компактная группа, то у нее обязательно есть комплексификация В самом деле, G может быть вложена в унитарную группу поэтому можно реализовать как подгруппу в комплексификации группы Эта

группа единственна с точностью до изоморфизма, и мы будем именно ее называть комплексификацией группы Таким образом, под комплексификацией группы Т мы всегда будем понимать группу другие возможные комплексификации, такие, как не могут возникать как комплексные лодгруппы полной линейной группы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление