Главная > Математика > Группы петель
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Система корней

Изучение структуры компактной связной группы Ли G начинается с выбора максимального тора Каждая максимальная связная абелева подгруппа в G обязательно является тором, т. е..

произведением I окружностей, и любые две такие подгруппы сопряжены в G (см. [1, 2.32, 4.22]). Размерность I максимального тора называется рангом группы В случае унитарной группы диагональные матрицы образуют максимальный тор В этом случае тот факт, что любые два максимальных тора сопряжены, элементарен, поскольку любое множество коммутирующих унитарных матриц одновременно диагонализуется. Общий случай, однако, менее прост.

Группа G линейно действует на своей алгебре Ли с помощью присоединенного представления; это действие, разумеется, индуцирует комплексно-линейное действие группы G на Решающий шаг в анализе структуры группы G состоит в разложении векторного пространства относительно действия максимального тора Каждое комплексное представление компактной абелевой группы, такой, как распадается в прямую сумму одномерных представлений, на каждом из которых Т действует с помощью гомоморфизма

Разумеется, Т тривиально действует на своей собственной комплексифицированной алгебре Ли но других векторов в неподвижных относительно нет, поскольку Т является максимальной абелевой подгруппой. Можно записать

где да есть векторное подпространство в на котором Т действует с помощью гомоморфизма Гомоморфизмы встречающиеся в этом разложении, называются корнями группы Они образуют конечное подмножество в группе характеров Т группы Гомоморфизм а: I определяется своей производной в единице а, лежащей в векторном пространстве линейных форм а именно

Обычно Т представляют себе как решетку в и записывают ее аддитивно. Иными словами, мы обычно не будем различать в обозначениях а и а. Заметим, что если — корень, то и — также корень, поскольку Решетка Т называется решеткой весов группы

В случае унитарной группы алгебра Ли состоит из всех комплексных -матриц, а корни нумеруются упорядоченными парами такими, что

Пространство состоит из матриц, все элементы которых, кроме равны 0, причем отображает диагональную матрицу с элементами и отождествляется с линейным отображением

Центр группы G содержится в каждом максимальном торе и является, очевидно, пересечением ядер всех корней -Отсюда следует, что если группа G полупроста, а значит, имеет конечный центр, то корни порождают векторное пространство

Оказывается (см. [1, 5.5]), что подпространства да в (2.4.1) всегда одномерны. Этот факт позволяет дать простое описание алгебры Ли в терминах образующих и соотношений.

Выберем для каждого корня а ненулевой вектор в да. Мы будем предполагать, что Легко видеть, что скобка

лежит в и отлична от нуля.

Отсюда вытекает, что три вектора порождают подалгебру Ли в изоморфную комплексификации алгебры Ли группы Если нормировать так, что соотношения принимают вид

такой же, как для матриц

то канонически определяется корнем а, причем лежит в ядре экспоненциального отображения

Элемент называется кокорнем, соответствующим корню а. Для каждого корня число является целым, поскольку причем Кокорень определяет гомоморфизм действующий по формуле

он каноническим образом продолжается до гомоморфизма Мы будем обычно представлять себе решетку Т всех гомоморфизмов содержащейся в векторном пространстве подобно тому, как решетка считается лежащей в иными словами, мы обычно не будем различать между собой кокорень и гомоморфизм Решетка У канонически двойственна к Т над целыми числами, причем эта

двойственность осуществляется композицией

Важным является тот факт, что для односвязной группы G корни порождают решетку

Ясно, что алгебра Ли порождена как векторное пространство корневыми векторами и элементами подалгебры а соотношения обязаны иметь вид

До сих пор элементы были фиксированы лишь с точностью до умножения на комплексные числа, по модулю равные единице. Оказывается, их можно выбрать так, чтобы все числа были целыми; в действительности все отличны от нуля. См. [20, гл. VIII, §. 2 п° 4].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление