Главная > Математика > Группы петель
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.5. Базисное представление группы LO2

Группа петель действует ортогональными преобразованиями на вещественном гильбертовом пространстве -функций на окружности со значениями в Если обычный базис в то элементы и гкгт для образуют базис в определим комплексную структуру на записывая

порождено элементами для для Рассуждения из (6.3.1) доказывают

Предложение (12.5.1). Группы являются подгруппами в соответственно.

Спинорное представление можно поэтому ограничить и получить проективное представление на Мы будем называть его базисным представлением Оно ограничивается до базисного представления и потому неприводимо. Подгруппа также неприводимо действует на . У нее есть две связные компоненты, соответствующие элементам Связная компонента единицы действует на двумя неэквивалентными неприводимыми представлениями.

В разд. 6.4 и 8.8 мы упоминали теорему Ботта о периодичности, которая утверждает, что вложение индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности Теми же рассуждениями можно доказать

Предложение (12.5.2). Вложение индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности

Мы не будем здесь этого доказывать. Заметим, однако, что с учетом предложения (12.4.2) получается утверждение о том, что пространство гомотопически эквивалентно Оно является важной частью теоремы Ботта о периодичности для ортогональной группы; фактически ортогональная теорема о периодичности следует из этого утверждения и из унитарной теоремы о периодичности. [2].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление