§ 16. ÑÊÎÐÎÑÒÜ È ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ ÊÎËÅÁËÞÙÅÃÎÑß ÒÅËÀ. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ
Äîïóñòèì, ÷òî
ñìåùåíèå êîëåáëþùåãîñÿ òåëà îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðè÷åì íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè âûáðàíî òàê, ÷òîáû
Òåëî ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, åñëè
ïðè÷åì
è ñî äîëæíû áûòü ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè. Ñêîðîñòü òåëà íàéäåì êàê ïðîèçâîäíóþ îò õ ïî âðåìåíè:
ãäå
ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå (ò. å. àìïëèòóäà) ñêîðîñòè. Ôîðìóëà (4.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü òåëà, òàê æå êàê è ñìåùåíèå, èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ òîé æå ÷àñòîòîé
, íî èìååò ôàçó, îòëè÷àþùóþñÿ îò ôàçû ñìåùåíèÿ íà
â ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà ñìåùåíèå õ ðàâíî íóëþ, ñêîðîñòü òåëà ïðèîáðåòàåò íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ.
Òàê êàê ñêîðîñòü òåëà ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ, òî ýòî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ óñêîðåííûì; ïðè ýòîì âåëè÷èíà óñêîðåíèÿ èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì òàêæå ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:
ãäå
ìàêñèìàëüíîå (àìïëèòóäíîå) çíà÷åíèå óñêîðåíèÿ. Ôàçà óñêîðåíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò ôàçû ñìåùåíèÿ íà
, à îò ôàçû ñêîðîñòè — íà
Çàìåíèâ â âûðàæåíèè
íà
ìîæíî ïåðåïèñàòü ôîðìóëó óñêîðåíèÿ â âèäå
ò. å. ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàòåëüíîì äâèæåíèè óñêîðåíèå òåëà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ñìåùåíèþ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èìååò
ïðîòèâîïîëîæíûé åìó çíàê. Íà ðèñ. 1.39 ïîêàçàíüé èçìåíåíèÿ ñìåùåíèÿ õ, ñêîðîñòè
è óñêîðåíèÿ à ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Ïåðèîäîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå âðåìÿ
ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî âñå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ýòî äâèæåíèå
, â òî÷íîñòè ïðèíèìàþò ïåðâîíà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû âñå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè (4.2), (4.3) è (4.4) îäíîâðåìåííî ïðèíÿëè ïåðâîíà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ, èõ àðãóìåíòû (ò. å. ôàçû) äîëæíû èçìåíèòüñÿ íà
ãäå
öåëîå ÷èñëî.
Ðèñ. 1.39
Ïåðèîä êîëåáàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ ôàçû íà
Åñëè â ìîìåíò
ôàçà êîëåáàíèé êàêîé-íèáóäü âåëè÷èíû áûëà ðàâíà
òî ÷åðåç âðåìÿ
ôàçà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé ñî
Ïðèðàâíÿâ èçìåíåíèå ôàçû
ïáëó÷èì:
Âåëè÷èíà
íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé êîëåáàíèé è ïîêàçüøàåò, ñêîëüêî ðàç â åäèíèöó âðåìåíè ïîâòîðÿåòñÿ îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå êîëåáëþùåãîñÿ òåëà.
Âåëè÷èíà ñî, òàêæå èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü
íàçûâàåòñÿ óãëîâîé (èëè êðóãîâîé) ÷àñòîòîé êîëåáàíèé.  ôîðìóëå ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ôàçà ìîæåò áûòü âûðàæåíà íå òîëüêî ÷åðåç ñî, íî è ÷åðåç
èëè Ò:
Ôîðìóëà (4.5), ïåðåïèñàííàÿ â âèäå
åñòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; îíî ñâÿçûâàåò êîëåáëþùóþñÿ âåëè÷èíó
ñ åå âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè. Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî åñëè
èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ñîãëàñíî ôîðìóëå (4.1), òî îíà óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (4.7). Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè êàêàÿ-ëèáî
ïåðåìåííàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà
óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (4.7), òî, ñëåäîâàòåëüíî, îíà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó (ñèíóñîèäàëüíîìó èëè êîñèíóñîéäàëüíîìó) çàêîíó (4.1) ñ ïîñòîÿííûìè çíà÷åíèÿìè
è
Äëÿ îïèñàíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÷àñòî óïîòðåáëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè î÷åíü óäîáíàÿ êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ
êîòîðàÿ â ñâîåé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ñîäåðæèò ôóíêöèþ êîñèíóñà, à â ìíèìîé — ôóíêöèþ ñèíóñà:
ãäå
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ (4.8) — ïåðèîäè÷åñêàÿ, ò. å.
, ãäå
êðîìå òîãî, îíà óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (4.7).