Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Êóðñ ôèçèêè (Ãåâîðêÿí Ð. Ã.)
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

§ 16. ÑÊÎÐÎÑÒÜ È ÓÑÊÎÐÅÍÈÅ ÊÎËÅÁËÞÙÅÃÎÑß ÒÅËÀ. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ

Äîïóñòèì, ÷òî ñìåùåíèå êîëåáëþùåãîñÿ òåëà îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðè÷åì íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè âûáðàíî òàê, ÷òîáû Òåëî ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, åñëè

ïðè÷åì è ñî äîëæíû áûòü ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè. Ñêîðîñòü òåëà íàéäåì êàê ïðîèçâîäíóþ îò õ ïî âðåìåíè:

ãäå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå (ò. å. àìïëèòóäà) ñêîðîñòè. Ôîðìóëà (4.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü òåëà, òàê æå êàê è ñìåùåíèå, èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ òîé æå ÷àñòîòîé , íî èìååò ôàçó, îòëè÷àþùóþñÿ îò ôàçû ñìåùåíèÿ íà â ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà ñìåùåíèå õ ðàâíî íóëþ, ñêîðîñòü òåëà ïðèîáðåòàåò íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ.

Òàê êàê ñêîðîñòü òåëà ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ, òî ýòî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ óñêîðåííûì; ïðè ýòîì âåëè÷èíà óñêîðåíèÿ èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì òàêæå ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:

ãäå ìàêñèìàëüíîå (àìïëèòóäíîå) çíà÷åíèå óñêîðåíèÿ. Ôàçà óñêîðåíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò ôàçû ñìåùåíèÿ íà , à îò ôàçû ñêîðîñòè — íà Çàìåíèâ â âûðàæåíèè íà ìîæíî ïåðåïèñàòü ôîðìóëó óñêîðåíèÿ â âèäå

ò. å. ïðè ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàòåëüíîì äâèæåíèè óñêîðåíèå òåëà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ñìåùåíèþ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èìååò

ïðîòèâîïîëîæíûé åìó çíàê. Íà ðèñ. 1.39 ïîêàçàíüé èçìåíåíèÿ ñìåùåíèÿ õ, ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ à ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.

Ïåðèîäîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå âðåìÿ ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî âñå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ýòî äâèæåíèå , â òî÷íîñòè ïðèíèìàþò ïåðâîíà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû âñå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè (4.2), (4.3) è (4.4) îäíîâðåìåííî ïðèíÿëè ïåðâîíà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ, èõ àðãóìåíòû (ò. å. ôàçû) äîëæíû èçìåíèòüñÿ íà ãäå öåëîå ÷èñëî.

Ðèñ. 1.39

Ïåðèîä êîëåáàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ ôàçû íà Åñëè â ìîìåíò ôàçà êîëåáàíèé êàêîé-íèáóäü âåëè÷èíû áûëà ðàâíà òî ÷åðåç âðåìÿ ôàçà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé ñî Ïðèðàâíÿâ èçìåíåíèå ôàçû ïáëó÷èì:

Âåëè÷èíà

íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé êîëåáàíèé è ïîêàçüøàåò, ñêîëüêî ðàç â åäèíèöó âðåìåíè ïîâòîðÿåòñÿ îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå êîëåáëþùåãîñÿ òåëà.

Âåëè÷èíà ñî, òàêæå èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü íàçûâàåòñÿ óãëîâîé (èëè êðóãîâîé) ÷àñòîòîé êîëåáàíèé.  ôîðìóëå ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ôàçà ìîæåò áûòü âûðàæåíà íå òîëüêî ÷åðåç ñî, íî è ÷åðåç èëè Ò:

Ôîðìóëà (4.5), ïåðåïèñàííàÿ â âèäå

åñòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; îíî ñâÿçûâàåò êîëåáëþùóþñÿ âåëè÷èíó ñ åå âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè. Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî åñëè èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ñîãëàñíî ôîðìóëå (4.1), òî îíà óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (4.7). Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè êàêàÿ-ëèáî

ïåðåìåííàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (4.7), òî, ñëåäîâàòåëüíî, îíà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó (ñèíóñîèäàëüíîìó èëè êîñèíóñîéäàëüíîìó) çàêîíó (4.1) ñ ïîñòîÿííûìè çíà÷åíèÿìè è

Äëÿ îïèñàíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÷àñòî óïîòðåáëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè î÷åíü óäîáíàÿ êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ

êîòîðàÿ â ñâîåé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ñîäåðæèò ôóíêöèþ êîñèíóñà, à â ìíèìîé — ôóíêöèþ ñèíóñà:

ãäå Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ (4.8) — ïåðèîäè÷åñêàÿ, ò. å. , ãäå êðîìå òîãî, îíà óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (4.7).

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå