Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Êóðñ ôèçèêè (Ãåâîðêÿí Ð. Ã.)
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

§ 9. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÈÄÅÀËÜÍÎÃÎ ÃÀÇÀ

Äîïóñòèì, ÷òî â îáúåìå V ïðè äàâëåíèè è òåìïåðàòóðå íàõîäÿòñÿ ìîëåêóë ãàçà. Êîëè÷åñòâî ãàçà ìîæíî èçìåðÿòü ëèáî åãî ìàññîé ìàññà îäíîé ìîëåêóëû), ëèáî ÷èñëîì ìîëåé:

ãäå ìîëÿðíàÿ ìàññà (ìàññà îäíîãî ìîëÿ âåùåñòâà). Ìàññà âûðàæàåòñÿ â êèëîãðàììàõ â êèëîãðàììàõ íà ìîëü â ìîëÿõ. ×èñëî ìîëåêóë â ãàçå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ÷èñëî ìîëåêóë â îäíîì ìîëå âåùåñòâà (ïîñòîÿííàÿ Àâîãàäðî, ðàâíàÿ

Îáúåì ãàçà èçìåðÿåòñÿ â êóáè÷åñêèõ ìåòðàõ äàâëåíèå — â íüþòîíàõ íà êâàäðàòíûé ìåòð òåìïåðàòóðà — ïî àáñîëþòíîé øêàëå Êåëüâèíà (ñì. ÷. II, § 18):

ãäå òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Öåëüñèÿ.

Èçìåðåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ó ãàçîâ ïðè ðàâíîâåñíûõ ïåðåõîäàõ èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ ñ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì óäîâëåòâîðÿþò òàê íàçûâàåìîìó îáúåäèíåííîìó çàêîíó Áîéëÿ — Ìàðèîòòà è Ãåé-Ëþññàêà: äëÿ äàííîé ìàññû ãàçà îòíîøåíèå ïðîèçâåäåíèÿ îáúåìà ãàçà íà åãî äàâëåíèå ê àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå ñîõðàíÿåòñÿ ïîñòîÿííûì ïðè ïåðåõîäå ãàçà èç îäíîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå:

Ïîýòîìó èäåàëüíûé ãàç îïðåäåëÿåòñÿ êàê òàêîé ãàç, êîòîðûé â òî÷íîñòè ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíàì Áîéëÿ — Ìàðèîòòà è Ãåé-Ëþññàêà, à ñëåäîâàòåëüíî, îáúåäèíåííîìó çàêîíó (2.8). Òàê êàê ïðè äàííîì äàâëåíèè è òåìïåðàòóðå îáúåì ãàçà V ïðîïîðöèîíàëåí åãî ìàññå, òî îòíîøåíèå äîëæíî áûòü òàêæå ïðîïîðöèîíàëüíî ìàññå ãàçà, à ñëåäîâàòåëüíî ÷èñëó ÷àñòèö ãàçà Îáîçíà÷èì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ÷åðåç òîãäà

Âåëè÷èíó ìîæíî íàéòè, åñëè ïî ìàññå ãàçà íàéòè ÷èñëî ìîëåêóë è èçìåðèòü îáúåì, äàâëåíèå è òåìïåðàòóðó ãàçà â êàêîì-íèáóäü åãî ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè. Ðàñ÷åò äàåò äëÿ ðàçíîðîäíûõ ãàçîâ ïðè ðàçëè÷íûõ (ðàâíîâåñíûõ) çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îäíî è òî æå çíà÷åíèå ýòîé âåëè÷èíû, ðàâíîå ïîñòîÿííîé Áîëüöìàíà.

Çàìåíèì â ôîðìóëå (2.9) ÷èñëî ìîëåêóë íà à Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí åñòü ìîëÿðíàÿ (óíèâåðñàëüíàÿ) ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ, ðàâíàÿ -ìîëü). Òîãäà ôîðìóëó (2.9) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

Ýòà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ ìåæäó ñîáîé ïàðàìåòðû ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (Êëàïåéðîíà — Ìåíäåëååâà).

 ôîðìóëå (2.9) ìîæíî ðàçäåëèòü îáå ÷àñòè åå íà îáúåì; ïîëó÷èì:

Òàêèì îáðàçîì, äàâëåíèå ãàçà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà è òåìïåðàòóðå ãàçà.

Ñðàâíèì óðàâíåíèå (2.9) ñ îñíîâíûì óðàâíåíèåì êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ (2.2), êîòîðîå áûëî âûâåäåíî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå; èç ðàâåíñòâà ïðàâûõ ÷àñòåé ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò:

 îñíîâíîì óðàâíåíèè òåîðèè ãàçîâ åñòü ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ñêîðîñòü ïîýòîìó ýíåðãèÿ, ðàññ÷èòàííàÿ ïî ýòîé ñêîðîñòè,

åñòü ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà; ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.12), îíà îêàçûâàåòñÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíîé àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå ãàçà.

Âñïîìíèì, ÷òî ïîñòóïàòåëüíîìó äâèæåíèþ ìîëåêóë ñîîòâåòñòâóþò òðè ñòåïåíè ñâîáîäû. Òîãäà èç ôîðìóëû (2.12) ñëåäóåò, ÷òî íà êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû â ñðåäíåì ïðèõîäèòñÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ

î ÷åì áûëî ñêàçàíî â § 1.

Ñîñòîÿíèå èäåàëüíîãî ãàçà õàðàêòåðèçóåòñÿ íå òîëüêî çàíèìàåìûì èì îáúåìîì Ó, äàâëåíèåì è òåìïåðàòóðîé íî è ðàñïðåäåëåíèåì ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì. Â íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèÿõ ãàçà ýòî

ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü ëþáûì, íî â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè óñòàíàâëèâàþòñÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷èñëàìè ìîëåêóë, èìåþùèìè ðàçëè÷íûå ñêîðîñòè. Ïðè òåîðåòè÷åñêîì âûâîäå ðàâíîâåñíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ:

1) â ãàçå íå ñóùåñòâóåò ìîëåêóë, èìåþùèõ â òî÷íîñòè îäèíàêîâûå ñêîðîñòè;

2) ÷èñëî ìîëåêóë ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â óçêèõ ïðåäåëàõ ìåæäó (íàïðèìåð, îò 100 äî 101 ì/ñ èëè îò 500 äî 501 ì/ñ), ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî îáùåìó ÷èñëó ìîëåêóë øèðèíå èíòåðâàëà è çàâèñèò îò âåëè÷èíû ñêîðîñòè Çàâèñèìîñòü îò ñêîðîñòè ïðåäñòàâèì â âèäå ìíîæèòåëÿ

Ôóíêöèþ ïîêàçûâàþùóþ îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî ìîëåêóë, ïðèõîäÿùèõñÿ íà åäèíèöó èíòåðâàëà ñêîðîñòåé, íàçûâàþò ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ãàçà ïî ñêîðîñòÿì. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ÷àñòèö ñî ñêîðîñòÿìè, ëåæàùèìè ìåæäó íå ðàâíî ÷èñëó ÷àñòèö, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò ìåæäó èëè Ôóíêöèÿ äëÿ ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ãàçà âû÷èñëåíà òåîðåòè÷åñêè è ïðîâåðåíà ïóòåì èçìåðåíèé; ïî Ìàêñâåëëó, îíà èìååò âèä

ãäå íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, çàâèñÿùèå îò ìàññû ìîëåêóë è îò òåìïåðàòóðû ãàçà Ò:

(k - ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà).

Ðèñ. 11.12

Ãðàôè÷åñêè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì èìååò âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 11.12. Çàøòðèõîâàííàÿ ïëîùàäêà ðàâíà ò. å. îòíîñèòåëüíîìó ÷èñëó ÷àñòèö, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â ïðåäåëàõ Ñêîðîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàêñèìóìó ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åííàÿ íà ðèñóíêå íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé íàèâåðîÿòíîé (èëè íàèáîëåå âåðîÿòíîé) ñêîðîñòüþ ìîëåêóë ãàçà. Áîëüøèíñòâî ìîëåêóë èìåþò ñêîðîñòè, ëåæàùèå âáëèçè

Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ìàêñâåëëà (2.14), ñìîæíî ðàññ÷èòàòü ñðåäíèå ñêîðîñòè ìîëåêóë:

Ñðåäíÿÿ íàèâåðîÿòíàÿ ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê òî çíà÷åíèå ñêîðîñòè, äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (2.14) èìååò ìàêñèìóì.

Ðàñ÷åòû äàþò ôîðìóëû:

Èçìåðåíèå ñêîðîñòåé ìîëåêóë áûëî ïðîèçâåäåíî Øòåðíîì ïðè ïîìîùè óñòàíîâêè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. 11.13. Âíóòðè öèëèíäðà ìàëîãî äèàìåòðà ñî ùåëüþ À ïîìåùàåòñÿ ïëàòèíîâàÿ ïðîâîëîêà ïîêðûòàÿ ñëîåì ñåðåáðà. Ïðè íàãðåâàíèè ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì ñåðåáðî èñïàðÿåòñÿ, àòîìû ñåðåáðà âûëåòàþò ÷åðåç ùåëü è ïîïàäàþò íà âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü âòîðîãî öèëèíäðà II. Åñëè îáà öèëèíäðà íåïîäâèæíû, òî âñå àòîìû íåçàâèñèìî îò èõ ñêîðîñòåé ïîïàäóò â îäíî è òî æå ìåñòî  áîëüøîãî öèëèíäðà. Ïðè îäíîâðåìåííîì âðàùåíèè îáîèõ, öèëèíäðîâ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ñî àòîìû ñåðåáðà â çàâèñèìîñòè îò ñâîèõ ñêîðîñòåé ïîïàäóò â òî÷êè Ïî âåëè÷èíå ñî, ðàññòîÿíèþ è ñìåùåíèþ ìîæíî âû÷èñëèòü ñêîðîñòü àòîìîâ, ïîïàâøèõ â òî÷êó

ãäå ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà II. Ýòè èçìåðåíèÿ ïîäòâåðäèëè òåîðåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ñêîðîñòåé.

Ðèñ. 11.13

Îäíàêî ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ïîäîáíûõ îïûòàõ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì íå â ñàìîì ñîñóäå, à â ìîëåêóëÿðíîì ïó÷êå, âûëåòàþùåì èç ñîñóäà. Î÷åâèäíî, ÷òî íàèáîëåå âåðîÿòíîé ñêîðîñòüþ ìîëåêóë â ïó÷êå áóäåò ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ïîòîêà. Ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçà èç îòâåðñòèÿ â ñîñóäå, â êîòîðîì èìååòñÿ äàâëåíèå â îêðóæàþùóþ ñðåäó ñ äàâëåíèåì áóäåò, ñîãëàñíî ôîðìóëå (6.6), ïðèâåäåííîé â § 30 ÷. I, ðàâíà

 öèëèíäðå I ïàðû ñåðåáðà ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì ãàçîì è ïîýòîìó â öèëèíäðå II ïîääåðæèâàåòñÿ âàêóóì è ìîæíî ïîëàãàòü Òîãäà

ò. å. ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìîëåêóë â ïîòîêå ãàçà, âûõîäÿùåãî èç ñîñóäà â âàêóóì, â òî÷íîñòè ðàâíà ñðåäíåé íàèâåðîÿòíîé ñêîðîñòè ìîëåêóë, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå (2.14). Ñëåäîâàòåëüíî, èçìåðåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì â ïîòîêå ãàçà èç ñîñóäà

â âàêóóì ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå (2.14). Îäíàêî ýòî âîâñå íå îçíà÷àåò, ÷òî òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå èìååòñÿ â ñàìîì ñîñóäå. Åñëè, íàïðèìåð, â öèëèíäðå II äàâëåíèå áûëî áû îòëè÷íî îò íóëÿ, òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ïîòîêà îòëè÷àëàñü áû îò ïîýòîìó äëÿ ïðîâåðêè ôîðìóëû (2.14) íåîáõîäèì áîëåå ïîäðîáíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé.  ÷àñòíîñòè, ïðîèçâîäÿ èçìåðåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïðèáëèæàþùèõñÿ ê ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì â ñîñóäå êàê ïðåäåëüíîå ïðè

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå