§ 9. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÈÄÅÀËÜÍÎÃÎ ÃÀÇÀ
Äîïóñòèì, ÷òî â îáúåìå V ïðè äàâëåíèè
è òåìïåðàòóðå
íàõîäÿòñÿ
ìîëåêóë ãàçà. Êîëè÷åñòâî ãàçà ìîæíî èçìåðÿòü ëèáî åãî ìàññîé
ìàññà îäíîé ìîëåêóëû), ëèáî ÷èñëîì ìîëåé:
ãäå
ìîëÿðíàÿ ìàññà (ìàññà îäíîãî ìîëÿ âåùåñòâà). Ìàññà
âûðàæàåòñÿ â êèëîãðàììàõ
â êèëîãðàììàõ íà ìîëü
â ìîëÿõ. ×èñëî ìîëåêóë â ãàçå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ÷èñëî ìîëåêóë â îäíîì ìîëå âåùåñòâà
(ïîñòîÿííàÿ Àâîãàäðî, ðàâíàÿ
Îáúåì ãàçà èçìåðÿåòñÿ â êóáè÷åñêèõ ìåòðàõ
äàâëåíèå — â íüþòîíàõ íà êâàäðàòíûé ìåòð
òåìïåðàòóðà — ïî àáñîëþòíîé øêàëå Êåëüâèíà (ñì. ÷. II, § 18):
ãäå
òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Öåëüñèÿ.
Èçìåðåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ó ãàçîâ ïðè ðàâíîâåñíûõ ïåðåõîäàõ èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ
ñ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì óäîâëåòâîðÿþò òàê íàçûâàåìîìó îáúåäèíåííîìó çàêîíó Áîéëÿ — Ìàðèîòòà è Ãåé-Ëþññàêà: äëÿ äàííîé ìàññû ãàçà îòíîøåíèå ïðîèçâåäåíèÿ îáúåìà ãàçà íà åãî äàâëåíèå ê àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå ñîõðàíÿåòñÿ ïîñòîÿííûì ïðè ïåðåõîäå ãàçà èç îäíîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå:
Ïîýòîìó èäåàëüíûé ãàç îïðåäåëÿåòñÿ êàê òàêîé ãàç, êîòîðûé â òî÷íîñòè ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíàì Áîéëÿ — Ìàðèîòòà è Ãåé-Ëþññàêà, à ñëåäîâàòåëüíî, îáúåäèíåííîìó çàêîíó (2.8). Òàê êàê ïðè äàííîì äàâëåíèè è òåìïåðàòóðå îáúåì ãàçà V ïðîïîðöèîíàëåí åãî ìàññå, òî îòíîøåíèå
äîëæíî áûòü òàêæå ïðîïîðöèîíàëüíî ìàññå ãàçà, à ñëåäîâàòåëüíî ÷èñëó ÷àñòèö ãàçà
Îáîçíà÷èì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ÷åðåç
òîãäà
Âåëè÷èíó
ìîæíî íàéòè, åñëè ïî ìàññå ãàçà íàéòè ÷èñëî ìîëåêóë
è èçìåðèòü îáúåì, äàâëåíèå è òåìïåðàòóðó ãàçà â êàêîì-íèáóäü åãî ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè. Ðàñ÷åò
äàåò äëÿ ðàçíîðîäíûõ ãàçîâ ïðè ðàçëè÷íûõ (ðàâíîâåñíûõ) çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îäíî è òî æå çíà÷åíèå ýòîé âåëè÷èíû, ðàâíîå ïîñòîÿííîé Áîëüöìàíà.
Çàìåíèì â ôîðìóëå (2.9) ÷èñëî ìîëåêóë
íà
à Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí
åñòü ìîëÿðíàÿ (óíèâåðñàëüíàÿ) ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ, ðàâíàÿ
-ìîëü). Òîãäà ôîðìóëó (2.9) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
Ýòà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ ìåæäó ñîáîé ïàðàìåòðû ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (Êëàïåéðîíà — Ìåíäåëååâà).
 ôîðìóëå (2.9) ìîæíî ðàçäåëèòü îáå ÷àñòè åå íà îáúåì; ïîëó÷èì:
Òàêèì îáðàçîì, äàâëåíèå ãàçà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà è òåìïåðàòóðå ãàçà.
Ñðàâíèì óðàâíåíèå (2.9) ñ îñíîâíûì óðàâíåíèåì êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ (2.2), êîòîðîå áûëî âûâåäåíî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå; èç ðàâåíñòâà ïðàâûõ ÷àñòåé ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò:
 îñíîâíîì óðàâíåíèè òåîðèè ãàçîâ
åñòü ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ñêîðîñòü
ïîýòîìó ýíåðãèÿ, ðàññ÷èòàííàÿ ïî ýòîé ñêîðîñòè,
åñòü ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà; ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.12), îíà îêàçûâàåòñÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíîé àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå ãàçà.
Âñïîìíèì, ÷òî ïîñòóïàòåëüíîìó äâèæåíèþ ìîëåêóë ñîîòâåòñòâóþò òðè ñòåïåíè ñâîáîäû. Òîãäà èç ôîðìóëû (2.12) ñëåäóåò, ÷òî íà êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû â ñðåäíåì ïðèõîäèòñÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ
î ÷åì áûëî ñêàçàíî â § 1.
Ñîñòîÿíèå èäåàëüíîãî ãàçà õàðàêòåðèçóåòñÿ íå òîëüêî çàíèìàåìûì èì îáúåìîì Ó, äàâëåíèåì
è òåìïåðàòóðîé
íî è ðàñïðåäåëåíèåì ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì. Â íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèÿõ ãàçà ýòî
ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü ëþáûì, íî â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè óñòàíàâëèâàþòñÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷èñëàìè ìîëåêóë, èìåþùèìè ðàçëè÷íûå ñêîðîñòè. Ïðè òåîðåòè÷åñêîì âûâîäå ðàâíîâåñíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ:
1) â ãàçå íå ñóùåñòâóåò ìîëåêóë, èìåþùèõ â òî÷íîñòè îäèíàêîâûå ñêîðîñòè;
2) ÷èñëî ìîëåêóë
ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â óçêèõ ïðåäåëàõ ìåæäó
(íàïðèìåð, îò 100 äî 101 ì/ñ èëè îò 500 äî 501 ì/ñ), ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî îáùåìó ÷èñëó ìîëåêóë
øèðèíå èíòåðâàëà
è çàâèñèò îò âåëè÷èíû ñêîðîñòè
Çàâèñèìîñòü
îò ñêîðîñòè ïðåäñòàâèì â âèäå ìíîæèòåëÿ
Ôóíêöèþ
ïîêàçûâàþùóþ îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî ìîëåêóë, ïðèõîäÿùèõñÿ íà åäèíèöó èíòåðâàëà ñêîðîñòåé, íàçûâàþò ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ãàçà ïî ñêîðîñòÿì. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ÷àñòèö ñî ñêîðîñòÿìè, ëåæàùèìè ìåæäó
íå ðàâíî ÷èñëó ÷àñòèö, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò ìåæäó
èëè
Ôóíêöèÿ
äëÿ ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ãàçà âû÷èñëåíà òåîðåòè÷åñêè è ïðîâåðåíà ïóòåì èçìåðåíèé; ïî Ìàêñâåëëó, îíà èìååò âèä
ãäå
íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, çàâèñÿùèå îò ìàññû ìîëåêóë
è îò òåìïåðàòóðû ãàçà Ò:
(k - ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà).
Ðèñ. 11.12
Ãðàôè÷åñêè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì èìååò âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 11.12. Çàøòðèõîâàííàÿ ïëîùàäêà
ðàâíà
ò. å. îòíîñèòåëüíîìó ÷èñëó ÷àñòèö, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â ïðåäåëàõ
Ñêîðîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàêñèìóìó ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åííàÿ íà ðèñóíêå
íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé íàèâåðîÿòíîé (èëè íàèáîëåå âåðîÿòíîé) ñêîðîñòüþ ìîëåêóë ãàçà. Áîëüøèíñòâî ìîëåêóë èìåþò ñêîðîñòè, ëåæàùèå âáëèçè
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ìàêñâåëëà (2.14), ñìîæíî ðàññ÷èòàòü ñðåäíèå ñêîðîñòè ìîëåêóë:
Ñðåäíÿÿ íàèâåðîÿòíàÿ ñêîðîñòü
îïðåäåëÿåòñÿ êàê òî çíà÷åíèå ñêîðîñòè, äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (2.14) èìååò ìàêñèìóì.
Ðàñ÷åòû äàþò ôîðìóëû:
Èçìåðåíèå ñêîðîñòåé ìîëåêóë áûëî ïðîèçâåäåíî Øòåðíîì ïðè ïîìîùè óñòàíîâêè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. 11.13. Âíóòðè öèëèíäðà ìàëîãî äèàìåòðà
ñî ùåëüþ À ïîìåùàåòñÿ ïëàòèíîâàÿ ïðîâîëîêà
ïîêðûòàÿ ñëîåì ñåðåáðà. Ïðè íàãðåâàíèè ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì ñåðåáðî èñïàðÿåòñÿ, àòîìû ñåðåáðà âûëåòàþò ÷åðåç ùåëü è ïîïàäàþò íà âíóòðåííþþ ïîâåðõíîñòü âòîðîãî öèëèíäðà II. Åñëè îáà öèëèíäðà íåïîäâèæíû, òî âñå àòîìû íåçàâèñèìî îò èõ ñêîðîñòåé ïîïàäóò â îäíî è òî æå ìåñòî  áîëüøîãî öèëèíäðà. Ïðè îäíîâðåìåííîì âðàùåíèè îáîèõ, öèëèíäðîâ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ñî àòîìû ñåðåáðà â çàâèñèìîñòè îò ñâîèõ ñêîðîñòåé ïîïàäóò â òî÷êè
Ïî âåëè÷èíå ñî, ðàññòîÿíèþ
è ñìåùåíèþ
ìîæíî âû÷èñëèòü ñêîðîñòü àòîìîâ, ïîïàâøèõ â òî÷êó
ãäå
ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà II. Ýòè èçìåðåíèÿ ïîäòâåðäèëè òåîðåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ñêîðîñòåé.
Ðèñ. 11.13
Îäíàêî ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ïîäîáíûõ îïûòàõ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì íå â ñàìîì ñîñóäå, à â ìîëåêóëÿðíîì ïó÷êå, âûëåòàþùåì èç ñîñóäà. Î÷åâèäíî, ÷òî íàèáîëåå âåðîÿòíîé ñêîðîñòüþ ìîëåêóë â ïó÷êå áóäåò ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ïîòîêà. Ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçà èç îòâåðñòèÿ â ñîñóäå, â êîòîðîì èìååòñÿ äàâëåíèå
â îêðóæàþùóþ ñðåäó ñ äàâëåíèåì
áóäåò, ñîãëàñíî ôîðìóëå (6.6), ïðèâåäåííîé â § 30 ÷. I, ðàâíà
 öèëèíäðå I ïàðû ñåðåáðà ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì ãàçîì è ïîýòîìó
â öèëèíäðå II ïîääåðæèâàåòñÿ âàêóóì è ìîæíî ïîëàãàòü
Òîãäà
ò. å. ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìîëåêóë â ïîòîêå ãàçà, âûõîäÿùåãî èç ñîñóäà â âàêóóì, â òî÷íîñòè ðàâíà ñðåäíåé íàèâåðîÿòíîé ñêîðîñòè ìîëåêóë, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå (2.14). Ñëåäîâàòåëüíî, èçìåðåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì â ïîòîêå ãàçà èç ñîñóäà