§ 11. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА
Изучение атмосферы Земли — важная научная проблема. Ее анализ чрезвычайно усложнен тем, что в атмосфере наблюдаются непрекращающиеся движения масс воздуха. В целях приближенного ознакомления с некоторыми свойствами реальной атмосферы полезно будет сперва рассмотреть идеализированную систему — изотермическую атмосферу в условиях ее механического равновесия.
На рисунке 1.16 схематически изображены Земля в виде шара с радиусом
и единица обтема атмосферы (вблизи экваториальной плоскости) на расстоянии
от центра планеты. Давление атмосферы
представляет собой гидростатическое давление, возникающее благодаря действию земного притяжения (сил тяготения) на газы атмосферы, оно, как и давление жидкостей, убывает по мере удаления от Земли. Таким образом,
На выделенную единицу объема действует сила
(рис. 1.16),
Рис. 1.16.
обусловленная градиентом и нагтрартснкая по радиусу от центра Земли. Обратив внимание на то, что
есть изменение давления при перемещении на единицу длины вдоль радиуса, легко понять, что
С другой стороны, на выделенный объем действует сила, равная
ускорение свободного падения).
Для покоящейся атмосферы должно выполняться условие
или
Атмосферный воздух достаточно точно описывается уравнением Клапейрона — Менделеева (7.14). Решив это уравнение относительно
найдем плотноеть:
Из (11.1) и (11.2), исключив плотность, получим:
Уравнение (11.3) выражает механическое равновесие, которое может быть реализовано и в том случае, когда температура
будет некоторой функцией от
Полагая, что атмосфера изотермична
(последнее достаточно точно только при небольших изменениях
), из (11.3) легко получить интегрированием
где С — постоянная интегрирования (точнее, постоянной интегрирования является
При начальных условиях
получим:
Таким образом,
рйеят
Если осуществить подстановку
-высота поднятия над Землей), то получим:
При сделанных допущениях формулой (11.5) описывается зависимость давления от высоты в изотермической атмосфере при небольших поднятиях над Землей
Эта формула называется барометрической. Из нее следует, что давление в атмосфере убывает по экспоненциальному закону, и тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура. На рисунке 1.17 представлены две зависимости
Рис. 1.17.
вида (11.5) для двух температур:
(Их можно также трактовать как кривые, соответствующие разным газам при одинаковой температуре.)
При получении формулы (11.5) полагалось,
Получим более точную барометрическую формулу с учетом зависимости
Для экваториальной плоскости можно записать:
В последнем соотношении учтено действие тяготения
гравитационная постоянная,
масса Земли) и действие центробежных сил
угловая скорость Земли). Из (11.3) и (11.6) имеем:
При условии, что
а также
интегрирование (11.7) приводит к выражению
Из (11.8) для давления атмосферы на бесконечном расстоянии от центра Земли результат получается явно парадоксальным:
Это означает, что в гравитационных полях вращающихся астрономических тел их газообразные атмосферы не могут находиться в равновесии и должны непрерывно рассеиваться в пространство.
Таким образом, в природе существуют системы (атмосферы планет, звезд), к которым понятие термодинамического равновесия заведомо неприменимо, так как для них не выполняется условие механического равновесия, необходимое для всякого термодинамического равновесия.
Рис. 1.18.
Обратимся теперь к опытным фактам. На рисунке 1.18 схематически изображена усредненная зависимость температуры атмосферы от высоты, снятая с помощью шаров-зондов, метеорологических спутников и ракет. Температура при подъеме до
сначала резко падает. Этот слой атмосферы называется тропосферой. Почти изотермическая область над ней (от 11 до
с температурой 190—220 К — нижняя стратосфера. Выше, в верхней стратосфере
температура возрастает примерно до 270 К (область инверсии). В мезосфере
температура вновь падает примерно до 180—190 К. За мезосферой лежит термосфера, в ней температура вновь возрастает
К и выше). Состав атмосферы до высот
практически остается неизменным (так называемая гомосфера). В тропосфере падение температуры с высотой в среднем равно 6,5 К на
Следует отметить, что высота тропосферы зависит от широты. Для умеренных широт она простирается примерно до
на полюсах несколько ниже, на экваторе выше.
В настоящее время нет удовлетворительной теории, которая количественно описывала бы сложную зависимость температуры атмосферы Земли от высоты (рис. 1.18).
Как установлено, общая масса атмосферы составляет приблизительно
около 0,9 массы заключено в слое до высоты
и лишь одна миллионная — выше
Многими странами, в том числе и
для характеристики изменения атмосферного давления с высотой принята так называемая международная стандартная атмосфера. Стандартная атмосфера — условное распределение давлений с высотой, получаемое из (11.3) в предположении, что давление на уровне моря при 15°С равно
, а падение температуры с высотой составляет
до высоты
На высотах от 11 до 22 км давление в стандартной атмосфере рассчитано по формуле (11.5).
Следует отметить, что формула (11.5) в начале XX в. послужила основой фундаментальных исследований, сыгравших исключительно важную роль в окончательном торжестве молекулярной теории.
Оказалось, что зависимость (11.5) не реализуется в атмосфере, но легко воспроизводится в условиях лабораторного эксперимента над броуновскими частицами, взвешенными в жидкости. Экспериментальная проверка зависимости (11.5) была проведена французским ученым Ж. Перреном, о чем речь будет дальше (§ 36).