Главная > Математика > Теория групп Ли, том III
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Орбиты

Обозначения. В этом параграфе мы будем обозначать через V конечномерное векторное пространство над бесконечным полем К и через 6 пространство эндоморфизмов пространства Если и то мы обозначим через образ элемента при Если подмножество в (соответственно подмножество в V), то через (соответственно через мы обозначим множество образов элемента при отображениях из (соответственно множество образов при отображении X элементов из Нам понадобятся следующие леммы:

Лемма 1. Пусть билинейное отображение произведения Если и точки из то

Левая часть формулы, которую нужно доказать, равна

Пусть отображение пространства это, как легко видеть, полиномиальное отображение. Отображение есть линейное отображение пространства в Но, как нам известно, для всякого линейного отображения имеет место равенство Итак,

[см. том II, формулу (7) из § 4 гл. I]. Но есть сумма линейного отображения и постоянного отображения Так как дифференциал постоянного отображения равен нулю, то

Отсюда мы получаем формулу

Равным образом, рассматривая отображение пространства V в , мы видим что

что и доказывает лемму 1.

Лемма 2. Пусть А — неприводимое подмножество в автоморфизм пространства Если то направляющее пространство множества в точке является образом при направляющего пространства множества

Для всякой полиномиальной функции над V обозначим через функцию которая также является полиномиальной. Для имеем

как это сразу следует из формулы (7) § 4 гл. I (том II) и из того факта, что отображение линейно. С другой

стороны, для того чтобы функция равнялась нулю на необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю на А. Отсюда непосредственно вытекает лемма 2, если еще заметить, что 5 — обратимый эндоморфизм.

Определение 1. Пусть группа преобразований некоторого множества А в себя. Для мы будем называть орбитой элемента (относительно группы множество всех его образов при отображениях из Если подмножество в то орбитой мы будем называть объединение орбит всех точек из

Таким образом, орбита множества это наименьшее множество, содержащее которое отображается в (или на) себя операторами из О.

Нас здесь интересует случай, когда V — векторное пространство (конечной размерности над бесконечным полем К), группа автоморфизмов пространства Следовательно, Тогда множество О обратимых элементов из замыкания группы О относительно топологии Зариского в является алгебраической группой согласно предложению 2 из § 1 гл. II (том II). Из предложения 9 § 1 следует, что группа неприводима тогда и только тогда, когда О нецриводима в смысле определения 3 § 1. Условимся называть алгеброй Ли группы алгебру Ли группы

Предложение 1. Пусть неприводимая группа автоморфизмов пространства алгебра Ли группы О. Если то направляющее пространство группы в точке совпадает с множеством все точки из являются простыми на

Первое утверждение непосредственно вытекает из предложения 1 § 8 гл. II (том II). Из него следует, что направляющие пространства О во всех точках этого множества имеют одинаковую размерность; это показывает, что все точки группы О простые.

Предложение 2. Пусть неприводимая группа автоморфизмов пространства неприводимое подмножество в Тогда орбита множества (относительно является неприводимым множеством. Пусть алгебра Ли группы Для пусть направляющее пространство множества в точке Для

и направляющее пространство множества 2 в точке содержит пространство

Если К — поле характеристики 0, то существует непустое относительно открытое подмножество со следующими свойствами: для

при всех

Пусть - отображение пространства Тогда есть неприводимое подмножество в (предложение 11 § 1); из предложения 12 § 1 следует тогда, что 2 неприводимо. Если то из предложения 1 и из предложения 16 § 1 вытекает, что направляющее пространство множества в точке есть При помощи леммы 1 мы убеждаемся в том, что образ этого пространства при дифференциале отображения в есть Из предложения 17 § 1 мы можем теперь заключить, что

и что — в случае, когда характеристика поля К равна нулю, — существует непустое относительно открытое подмножество такое, что

для всех точек Существует полиномиальная функция над , не равная нулю на и такая, что всякая точка из для которой принадлежит Пусть — такая точка из О, что по меньшей мере для одной точки Тогда множество тех для которых есть непустое относительно открытое подмножество в Покажем, что для

при всех Это равенство во всяком случае имеет место для С другой стороны, так как 2 преобразуется в себя операторами из то из леммы 2 следует, что для справедливо равенство

это и доказывает наше утверждение.

Следствие. При тех же обозначениях, что и в предложении, 2, предположим, что характеристика поля К равна 0. Тогда существует непустое относительно открытое подмножество в обладающее следующими свойствами: каждая точка простая точка на и на 2, и имеет место равенство

Множество простых точек из относительно открыто и непусто (предложение 13 § 1). Равным образом множество простых точек из относительно открыто и непусто в 2. Из леммы 2 следует, что 5 отображается в себя операторами из Так как орбита каждой точки из 2 пересекается с то ясно, что множество непусто; оно, очевидно, относительно открыто в Таким образом, множество непусто и относительно открыто в что и доказывает следствие.

Следствие предложения 2 дает удобный способ для определения размерности орбиты неприводимого множества.

Предложение 3. Сохраняя обозначения предложения 2, предположим дополнительно, что алгебраическая группа, что множество густое и что поле К алгебраически замкнуто. Тогда — густое множество.

Так как алгебраическая группа, то она содержит все обратимые элементы своего замыкания Если определитель элемента то является полиномиальной функцией над а группа состоит из всех для которых таким образом, густое множество. Отсюда следует, что густое множество (предложение 19 § 1) и, следовательно, 2 — густое множество (предложение 20 § 1).

Заметим, что мы установили следующий результат:

Лемма 3. Всякая алгебраическая неприводимая группа автоморфизмов пространства V является густым подмножеством пространства

Предложение 4. Предположим, что характеристика поля К равна 0. Пусть неприводимая алгебраическая подгруппа группы ее алгебра Ли, — неприводимые алгебраические подгруппы группы их

алгебры Ли. Предположим, что Тогда множество произведений элементов из на элементы из плотно в обозначим это множество через .

Предположим, кроме того, что выполнено следующее условие: существует алгебраически замкнутое надполе поля К, такое, что пересечение групп полученных из расширением основного поля до содержит только единичный элемент. Тогда множество густое. Существуют рациональные отображения группы в пространство эндоморфизмов пространства V, обладающие следующими свойствами: они определены всюду на множестве ; если то

Каждому элементу 5 из сопоставим эндоморфизм пространства определяемый формулой Ясно, что индуцирует рациональное представление группы -Группа неприводима (том II, предложение 7 § 6 гл. II), и ее алгебра Ли есть (том II, предложение 5 § 9 гл. II). Но отображение линейно, так что значит, это множество отображений для всех Множество является орбитой множества 33 относительно группы . Для направляющее пространство множества 8 в есть (предложение 1). Поэтому из следствия предложения 2 вытекает, что существует точка простая на и такая, что направляющее пространство множества в этой точке есть Таким образом, размерность множества равна размерности пространства т. е. размерности которая, в свою очередь, равна размерности группы О. Отсюда следует, что множество плотно в

Предположим теперь, что выполнено условие второй части предложения 4. Обозначим через полиномиальное отображение подмножества пространства в О.

Пространство получаемое из расширением основного поля до естественным образом отождествляется с где пространство, получаемое из расширением основного поля до Группу можно рассматривать как группу автоморфизмов пространства (см. том II, предложение 1 § 1 гл. II); группа, получаемая из нее расширением основного поля до есть (том И, предложение 1 § 5 гл. II); это показывает, что плотно в замыкании группы в Кроме того, есть алгебраическая группа и, следовательно, является густым

множеством (лемма 3); отображение можно продолжить в полиномиальное отображение множества в Это отображение взаимно однозначно. Действительно, пусть , а — элементы из элементы из , такие, что Имеем Так как пересечение групп содержит только единичный элемент, то Из предложения 21 § 1 вытекает, что является густым множеством.

Если элемент 5 можно представить в виде произведения элемента из на элемент из одним единственным образом; положим где Наша цель — показать, что являются ограничениями на рациональных отображений группы О в определенных всюду на . Заметим сначала, что из самого определения отображений следует, что

для С другой стороны, из предложения 21 § 1 вытекает существование рационального отображения группы в и некоторого густого и плотного подмножества группы причем отображение определено всюду на для Итак, мы имеем для Пусть множество тех точек из в которых отображение определено. Для положим

отображения и являются ограничениями на рациональных отображений группы в 6, которые мы также обозначим через и Пусть множество тех точек из в которых определено отображение Пусть элемент из . Обозначим через а отображение множества в 6; это, конечно, рациональное отображение; покажем, что оно совпадает с Множество густо и плотно в это следует из предложения 21 § 1 и из того, что 6 густо и плотно в . Таким образом, множество густо и плотно в (том II, лемма 3 из § 4 гл. II), и тем же свойством обладает множество

(предложение 18 § 1). Пусть — точка этого последнего множества. Так как то так как то

Рациональные отображения совпадающие на плотном множестве, идентичны (том II, лемма 2 из § 4 гл. II). Отсюда следует, что Так как это равенство справедливо для всех и так как имеет по меньшей мере одну общую точку с густым множеством , то отсюда немедленно вытекает, что Кроме того, для имеем при любых из . Это показывает, что если множество точек таких» что для . Множество содержащее непусто; отсюда сразу следует, что оно совпадает с и что тем самым отображение продолжает а. Аналогичное рассуждение показывает, что продолжает Предложение 4 доказано.

Следствие. При таких же обозначениях, как в предложении 4, мы будем предполагать, что выполняется условие второй части этого предложения. Тогда поле рациональных функций над группой порождается подполями соответственно изоморфными полям рациональных функций над группами ; поля линейно свободны над полем К.

Если полиномиальная функция над , то отображение

очевидно, можно продолжить в рациональную функцию над О. Так как множество плотно в О, то, как непосредственно видно, отображение есть изоморфизм кольца полиномиальных функций над на некоторое подкольцо поля Этот изоморфизм можно продолжить в изоморфизм поля рациональных функций над на некоторое подполе поля изоморфизм, который мы также обозначим через Аналогичным образом определяется изоморфизм поля рациональных функций над на некоторое подполе поля Пусть координатные функции над пространством относительно некоторого базиса этого пространства. Из формулы сразу следует, что ограничения на функций можно выразить в виде полиномов

от ограничений на функций Так как множество плотно в О, то отсюда вытекает, что ограничения на О функций принадлежат полю, порожденному полями и поле совпадает с полем Пусть образы при колец и полиномиальных функций над и . Чтобы доказать, что поля и линейно свободны, достаточно показать, что кольца и линейно свободны баки, Алгебра, гл. V, § 2, п° 3, предложение 51)). Пусть линейно независимые элементы кольца , и пусть такие элементы из , что

для всех Пусть какая-нибудь точка из . Для а имеем

Так как эта формула верна для всех то из линейной независимости функций следует, что все элементы равны нулю. Поскольку это верно для всех все равны нулю, что и доказывает следствие.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление