Главная > Разное > Механика гибких стержней и нитей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Основные положения дифференциальной геометрии

В предыдущем параграфе были получены выражения для производных по координате единичных векторов базиса, связанного с пространственной кривой. Было наложено ограничение только на один из векторов базиса, а именно на вектор который при перемещении базиса вдоль кривой всегда должен быть направлен по касательной к кривой. Остальные два вектора могли дополнительно поворачиваться (оставаясь взаимно-ортогональными) относительно вектора т. е. положение векторов не было жестко связано с кривой. В результате были получены выражения для производной (1.52), в которые входят к, — проекции вектора к, характеризующего внутреннюю геометрию кривой (кривизну и кручение). Рассмотрим более подробно геометрические свойства кривых.

1. Плоская кривая.

Наиболее удобным способом представления кривой (как плоской, так и пространственной) является параметрическое представление где -параметр (криволинейная координата).

В § 2 было показано, что производная радиус-вектора по есть единичный вектор направленный по касательной, т. е.

Рассмотрим плоскую кривую (рис. 1.12). В точке А этой кривой проведем касательную и нормаль Если теперь провести ряд окружностей, касающихся прямой в точке то среди этих окружностей имеется одна, наиболее близко прилегающая к кривой в точке А (например, окружность К). Эта окружность называется соприкасающейся окружностью, а ее радиус радиусом кривизны кривой в точке

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Производная от есть вектор, ортогональный Поэтому имеем

где вектор, ортогональный вектору

Из подобия треугольников и следует (рис. 1.13)

радиус соприкасающейся окружности. Так как то из (1.90) получаем

поэтому

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление