Главная > Разное > Механика гибких стержней и нитей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Уравнение, связывающее векторы

Рассмотрим произвольный вектор постоянный по модулю и направлению в связанной системе координат; так как для вектора, постоянного по модулю, локальные производные равны нулю то полные производные а по

Дифференцируя (4.17) по а (4.18) по и приравняв смешанные производные после преобразований, находим

Воспользовавшись тождеством Лагранжа (1.38)

получим

или

Так как а — произвольный не равный нулю вектор, то тождественное равенство нулю векторного произведения (4.20) в наиболее общем случае возможно при условии

Соотношение (4.21) и есть искомое уравнение, связывающее векторы со и Возможна и другая форма записи уравнения (4.21) через абсолютные частные производные. Так как

то, подставив (4.22) в (4.21), получаем

В проекциях на связанные оси имеем из (4.23)

В частном случае, когда кривая является плоской, получаем

Так как для плоской кривой то уравнение (4.23) превращается в тождество. Если в (4.24) подставить выраженные через углы то уравнения обращаются в тождества. В ряде случаев при исследовании колебаний стержней и нитей нет необходимости определять углы тогда и являются неизвестными, связанными системой уравнений (4.24).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление