§ 19. Уравнение неразрывности
Рассмотрим два близких сечения трубки, внутри которой движется растяжимый стержень (или жидкость) (рис. 4.7, а). Изменение во времени массы стержня, заполняющей объем между двумясечениями, равно приращению массы, втекающей и вытекающей из взятого элементарного объема (рис. 4.7, б):
где
плотность материала стержня, в общем случае зависящая от
площадь сечения стержня. При выводе уравнения (4.30) предполагалось, что
по сечению постоянна, что для движущегося стержня выполняется, а для реальной жидкости неверно. Для вязкой реальной жидкости под
следует понимать среднюю по сечению скорость движения жидкости. Знак «минус» в правой части (4.35) взят потому, что положительное значение слагаемого
соответствует уменьшению массы в объеме, т. е. производная по времени отрицательна. Из (4.35) имеем
Так как справедливо равенство
где
значения величин в недеформированном состоянии, то имеем
где
функция, характеризующая физические свойства материала стержня.
Рис. 5.17