§ 19. Уравнение неразрывности

Рассмотрим два близких сечения трубки, внутри которой движется растяжимый стержень (или жидкость) (рис. 4.7, а). Изменение во времени массы стержня, заполняющей объем между двумясечениями, равно приращению массы, втекающей и вытекающей из взятого элементарного объема (рис. 4.7, б):

где плотность материала стержня, в общем случае зависящая от площадь сечения стержня. При выводе уравнения (4.30) предполагалось, что по сечению постоянна, что для движущегося стержня выполняется, а для реальной жидкости неверно. Для вязкой реальной жидкости под следует понимать среднюю по сечению скорость движения жидкости. Знак «минус» в правой части (4.35) взят потому, что положительное значение слагаемого соответствует уменьшению массы в объеме, т. е. производная по времени отрицательна. Из (4.35) имеем

Так как справедливо равенство

где значения величин в недеформированном состоянии, то имеем

где функция, характеризующая физические свойства материала стержня.

Рис. 5.17

Если материал стержня подчиняется закону Гука, то

где осевое усилие в стержне; модуль упругости первого рода. Для сжимаемой жидкости при плотность связана с давлением уравнением состояния

Подставив в (4 36) [и используя (4.38) и условие получим уравнение неразрывности

Если стержень нерастяжим следовательно, (4.41) характеризует изменение скорости продольного движения стержня, вызванное его деформациями. Таким образом, скорость зависит от координаты только в том случае, если учитывается растяжение стержня.