Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.13. Законы преобразования декартовых тензоров. Дельта Кронекера. Условия ортогональности

Пусть — две ортогональные декартовы системы координат с общим началом в произвольной точке О (рис. 1.9). Можно считать, что система со штрихами получена из системы без штрихов поворотом осей около начала координат или отражением осей относительно одной из координатных плоскостей, или, может быть, комбинацией того и другого. Если символом а? обозначен косинус угла между осью системы со штрихами и осью системы без штрихов, т. е. то ориентацию какой-либо оси каждой системы относительно другой системы удобно" задавать таблицей

(см. скан)

или же тензором преобразования

Из такого определения следует, что единичный вектор оси в соответствии с формулой (1.48) и соглашением о суммировании представляется выражением

Ясно, что, обобщая это равенство, любой базисный вектор можно записать в виде

Рис. 1.9.

Произвольный вектор изображенный на рис. 1.9, можно выразить через его компоненты в системе без штрихов:

и в системе со штрихами:

Заменяя в сумме (1.91) эквивалентным выражением (1.89), получаем

Сравнивая формулы (1.92) и (1.90), обнаруживаем, что компоненты вектора в исходной и преобразованнол системах связаны соотношением

Это равенство дает закон преобразования декартовых тензоров первого ранга. Как видно, он является частным случаем общих законов преобразования тензоров первого ранга, которые были представлены формулами (1.80) и (1.77). Меняя ролями в предыдущих рассуждениях базисные векторы со штрихами и без штрихов, получаем соотношение, обратное (1.93):

Нужно заметить, что в формуле (1.93) свободным был второй индекс, а в выражении (1.94) свободный индекс является первым.

Выбрав надлежащим образом немые индексы и объединив (1.93) и (1.94), можно написать

Так как вектор является произвольным, то это уравнение должно сводиться к тождеству Поэтому коэффициент щсикъ значение которого зависит от индексов должен равняться либо 1, либо в зависимости от того, одинаковые или различные численные значения принимают Для представления величин такого типа, как можно пользоваться дельтой Кронекера, которая определяется следующим образом:

С помощью дельты Кронекера условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (1.95), можно записать следующим образом:

В развернутом виде соотношение (1.97) состоитлз девяти равенств, которые называются условиями ортогональности, или ортонормированности. Это условий, наложенные на направляющие косинусы соотношения (1.93) и (1.94) можно скомбинировать иначе и получить равенство что дает другую форму условий ортогональности:

Линейные преобразования типа (1.93) или (1.94), коэффициенты которых удовлетворяют условиям ортогональности (1.97) или (1.98), называются ортогональными преобразованиями. Поворот осей координат и отражение их относительно какой-либо координатной плоскости являются ортогональными преобразованиями.

Дельту Кронекера иногда называют оператором замены, потому что она дает, например, следующие преобразования:

или

В силу этого свойства ясно, что дельта Кронекера является аналогом в индексных обозначениях единичного тензора второго ранга I, определенного формулой (1.54).

В соответствии с правилом преобразования векторов (1.94) диада в системе координат со штрихами имеет компоненты

Естественным обобщением формулы (1.101) будет правило преобразования любого декартова тензора второго ранга

Используя условия ортогональности, легко найдем соотношение, обратное (1.102) и дающее правило перехода от компонент в системе со штрихами к компонентам в системе без штрихов. Оно выражается формулой

Законы преобразования декартовых тензоров первого и второго рангов обобщаются для декартовых тензоров ранга

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление