Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.20. Степени тензоров второго ранга. Соотношение Гамильтона — Кэли

Непосредственным матричным умножением квадрат тензора получается как внутреннее произведение куб — как произведение Таким образом, если представлен в диагональной форме (1.137), то степень этого тензора (и

соответствующей матрицы) дается формулой

Сравнение (1.138) и (1.137) показывает, что тензор и все его целые степени имеют одни и те же главные оси.

Все главные значения удовлетворяют уравнению (1.133), а матрица имеет диагональный вид (1.138), поэтому сам тензор будет удовлетворять уравнению (1.133). Таким образом,

где — единичная матрица. Это соотношение называется соотношением Гамильтона — Кэли. Умножим каждый член этого соотношения (1.139) на правилу перемножения матриц и придем к равенству

Исключая из (1.140) и (1.139), будем иметь

Продолжая эту процедуру, можно получить все целые положительные степени в виде линейных комбинаций и .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление