Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.10. Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений. Эллипсоид напряжений

В точке где компоненты тензора напряжений равны соотношение ставит в соответствие каждому направлению вектор напряжения Направления, для которых коллинеарны (рис. 2.11), называются главными направлениями (или главными осями) тензора напряжений. Для главного направления имеет место равенство

где величина вектора напряжения — называется главным напряжением. Подставляя (2.35) в (2.12) и используя тождества приходим к уравнениям

Три уравнения (2.36) содержат четыре неизвестных, а именно три направляющих косинуса и величину главного напряжения

Рис. 2.11.

Для того чтобы система (2.36), кроме имела еще и нетривиальное решение, детерминант из коэффициентов должен обращаться в нуль, т. е.

что после раскрытия определителя приводит к кубическому уравнению относительно

называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений.

Три корня уравнения являются значениями трех главных напряжений. Каждому главному напряжению соответствует главная ось, для которой направляющие косинусы находятся как решения уравнений

Здесь верхние или нижние буквы, заключенные в скобки, являются просто индексами и не участвуют ни в каком процессе суммирования. Например, развернутая форма (2.42) для второй главной оси такова:

Так как тензор напряжений симметричен и его элементы — действительные числа, главные напряжения тоже принимают действительные значения.

Матрица отнесенная к главным осям, имеет вид

Во второй форме в качестве индексов использованы римские цифры для того, чтобы показать, что главные напряжения упорядочены, т. е. Вследствие того что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями поверхности напряжений Коши, значения главных напряжений включают как максимальное, так и минимальное значения компонент нормального напряжения в точке.

Рис. 2.12.

В пространстве главных напряжений, т. е. в пространстве, где оси

координат совпадают с главными осями тензора напряжений, а единицами измерения координат служат величины как показано на рис. 2.12, произвольный вектор напряжения в соответствии с формулой (2.12) имеет компоненты

Но поскольку для каждого единичного вектора то вектор в пространстве главных напряжений удовлетворяет уравнению

Это уравнение эллипсоида, известного под названием эллипсоида напряжений Ламе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление