Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.6. Тензоры деформаций. Тензоры конечных деформаций

На рис. 3.2 начальная (недеформированная) и конечная (деформированная) конфигурации отнесены к совмещенным ортогональным декартовым осям координат Соседние частицы, которые находились в точках до деформации, перемещаются соответственно в точки деформированной конфигурации.

Квадрат бесконечно малого расстояния между есть

Рис. 3.2.

Согласно (3.15), дифференциал расстояния очевидно, равен

так что квадрат длины в формуле (3,28) можно написать в виде

где тензор второго ранга

называется тензором деформаций Коши.

В деформированной конфигурации квадрат бесконечно малого расстояния между равен

В силу (3.14) этот дифференциал расстояния имеет вид

так что квадрат длины в формуле (3.32) может быть записан следующим образом:

где тензор второго ранга

называется тензором деформаций Грина.

Разность для двух соседних частиц сплошной среды используется как мера деформации некоторой окрестности этих частиц между начальным и конечным состояниями. Если эта разность тождественно равна нулю для всех соседних частиц, то говорят, что имеет место абсолютно жесткое перемещение (перемещение сплошной среды как абсолютно твердого тела). Используя (3.34) и (3.28), эту разность можно представить в виде

или

где тензор второго ранга

называется лагранжевым тензором конечных деформаций (или тензором конечных деформаций Грина).

Используя (3.32) и (3.30), ту же самую разность можно представить в виде

или

где тензор второго ранга

называется эйлеровым тензором конечных деформаций (или тензором конечных деформаций Альманси).

Особенно полезна такая форма лагранжева и эйлерова тензоров конечных деформаций, когда эти тензоры представлены в виде функций градиентов перемещения. Тогда, если из (3.24) подставить в (3.37), то после некоторых простых алгебраических преобразований лагранжев тензор конечных деформаций примет вид

Таким же образом, если из (3.25) подставить в (3.39), в результате получим эйлеров тензор конечных деформаций в виде

Матричные представления тензоров (3.40) и (3.41) можно написать, непосредственно используя формулы (3.26) и (3.27) соответственно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление