Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 4. Движение и течение

4.1. Движение. Течение. Материальная производная

Термины движение и течение используются при описании мгновенного или непрерывного изменения конфигурации сплошной среды. Иногда словом течение называют движение, приводящее к остаточной деформации, как, например, в теории пластичности. Однако при изучении жидкостей это слово означает непрерывное движение. Как было указано в (3.14) и (3.15), движение некоторого объема сплошной среды можно выразить либо в материальных координатах (лагранжево представление):

либо, разрешая эти уравнения, в пространственных координатах (эйлерово представление):

Для существования обратных функций (4.2) необходимо и достаточно, чтобы якобиан

был отличен от нуля. С физической точки зрения лагранжев способ описания фиксирует внимание на индивидуальных частицах континуума, в то время как при эйлеровом подходе интересуются определенной областью пространства, занятой сплошной средой.

Так как (4.1) и (4.2) взаимно, обратны, любое физическое свойство континуума, приписанное индивидуальной частице (в лагранжевом, или материальном, описании), может также быть выражено для определенного места в пространстве, занятого этой частицей (в эйлеровом, или пространственном, описании). Например, если в материальных переменных дана плотность

то пространственное представление ее получается заменой X в этом соотношении функцией из (4.2). Таким образом, в пространственных координатах плотность равна

где символ использован для того, чтобы подчеркнуть, что вид функции в эйлеровом представлении не обязательно тот же, что в лагранжевом.

Скорость изменения со временем любого свойства в индивидуальных частицах движущейся среды называется материальной (или индивидуальной) производной по времени от этой величины. Материальную производную (также называемую субстанциональной или полной производной) можно представить себе как скорость изменения рассматриваемой величины со временем, которая была бы измерена наблюдателем, движущимся вместе с индивидуальной частицей. Мгновенное положение частицы само является свойством этой частицы. Материальная производная по времени от положения частицы есть ее мгновенная скорость. Поэтому, принимая символ или точку над буквой для обозначения операции материального дифференцирования (в некоторых книгах используют символ получаем определение вектора скорости:

Вообще, если любое скалярное, векторное или тензорное свойство континуума, которое можно описать локальной функцией координат, и если в лагранжевом представлении

то индивидуальная производная по времени от этой величины имеет вид

Правую часть (4.8) иногда записывают в форме чтобы подчеркнуть, что координаты X считаются постоянными, т. е. что при вычислении производной имеют дело с одними и теми же частицами. Если некоторое свойство задано функцией в пространственных переменных

то вычисление материальной производной приводит к выражению

где второй член в правой части появляется из-за того, что индивидуальные частицы меняют свое местоположение в пространстве. Первый член в правой части (4.10) характеризует скорость изменения данного свойства в фиксированной точке пространства и соответственно называется локальной (или местной) скоростью изменения. Этот член иногда записывают в виде чтобы подчеркнуть, что считается постоянным при этом

дифференцировании. Второй член в правой части равенства (4.10) называется конвективной скоростью изменения, так как он выражает вклад, обусловленный движением частиц в переменном поле данного свойства.

Принимая во внимание (4.6), для индивидуальной производной можно написать

что сразу наводит на мысль ввести оператор материального дифференцирования по времени

который используется при вычислении индивидуальных производных от величин, записанных в пространственных координатах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление