Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.7. Материальные производные по времени от интеграла по объему, интеграла по поверхности и линейного интеграла

Не все свойства континуума можно задать для индивидуальной частицы функцией ее координат так, как это сделано в (4.7) и (4.9); некоторые свойства определяются интегралами по конечной части континуума. Пусть, например, какое-либо скалярное, векторное

или тензорное свойство представлено интегралом по объему

где V — объем, который рассматриваемая часть сплошной среды занимает в момент Материальная производная от равна

а так как интегрирование идет по определенной части континуума (т. е. индивидуализированной системе масс), операции дифференцирования и интегрирования можно менять местами. Таким образом,

После выполнения дифференцирования с учетом (4.41) приходим к следующему равенству:

Оператор индивидуальной производной определен формулой (4.12) как Тогда равенству (4.52) можно придать вид

По теореме Гаусса-Остроградского (1.157) преобразуем второй член в правой части (4.53) в интеграл по поверхности; получим

Это соотношение утверждает, что скорость изменения некоторой величины в части сплошной среды, занимающей в данный момент объем V, равна сумме изменений этой величины во всех точках внутри V плюс поток величины через поверхность ограничивающую

Процедура определения материальных производных от интеграла по поверхности и линейного интеграла в общем та же, что только что проделанная для интеграла по объему. Так, для любого тензорного свойства сплошной среды, которое выражается интегралом

по поверхности

где поверхность, занятая в момент рассматриваемой частью континуума, имеем, как и прежде,

Отсюда, учитывая (4.43), получаем правило дифференцирования интеграла по поверхности:

Для величин, выраженных линейным интегралом типа

материальная производная равна

Проводя указанное дифференцирование в правой части (4.59) и учитывая при этом (4.45), находим материальную производную линейного интеграла:

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление