Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 6. Линейная теория упругости

6.1. Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформации

В классической линейной теории упругости предполагается, что сами смещгния и их градиенты настолько малы, что можно не делать различия между их лагранжевым и эйлеровым представлениями. В соответствии с этим выражение тензора линейных деформаций через вектор перемещения может быть записано в следующих эквивалентных формах:

или

В дальнейшем будем, кроме того, пренебрегать тепловыми эффектами, сопровождающими деформирование, если специально не оговаривается противное.

Для линейного упругого тела определяющие уравнения связывают тензор напряжений и тензор деформаций соотношением

которое называется обобщенным законом Гука. Коэффициенты этого соотношения образуют тензор упругих констант который имеет 81 компоненту. Однако вследствие симметрии обоих тензоров — и напряжений и деформаций — различных упругих констант имеется не более 36. При записи закона Гука через эти 36 коэффициентов двойные индексы у компонент тензоров напряжений и деформаций часто заменяют одинарными индексами, которые меняются от 1 до 6. В таких обозначениях

Закон Гука можно записать в виде

где 36 упругих констант обозначены теперь а заглавные латинские буквы использованы в качестве индексов для того, чтобы подчеркнуть, что эти индексы меняются от 1 до 6.

Если пренебречь тепловыми эффектами, то уравнение (5.32) примет вид

Внутренняя энергия в этом случае оказывается чисто механической величиной, которая называется энергией деформации (на единицу массы). Из уравнения (6.6) следует, что

Если и считать функцией девяти компонент деформации и — и то дифференциал ее равен

Сравнивая (6.7) и (6.8), замечаем, что

Введем функцию и, такую, что

она называется плотностью энергии деформации (на единицу объема). В теории малых деформаций в (6.10) можно считать постоянной, поэтому функция и обладает следующим свойством:

Состояние, в котором энергия деформации равна нулю, можно выбрать произвольно. И так как напряжения должны обращаться

в нуль одновременно с деформациями, простейшим видом выражения энергии деформации, обеспечивающим линейную связь между напряжениями и деформациями, является квадратичная форма

Принимая во внимание закон Гука (6.2), это выражение можно записать так:

В обозначениях с одним индексом квадратичная форма (6.12) имеет вид

причем Если функция энергии деформации существует, то вследствие симметрии число независимых упругих констант будет не более 21.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление