Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.4. Постановка статических и динамических задач теории упругости

При постановке статических задач для упругой однородной изотропной среды используются следующие уравнения, которые должны выполняться всюду внутри тела:

а) уравнения равновесия

б) закон Гука

в) соотношения, связывающие деформации с перемещениями,

Кроме того, на поверхности, ограничивающей тело, должны быть удовлетворены заданные условия, наложенные на напряжения и/или перемещения.

Краевые задачи теории упругости обычно классифицируют по типу этих условий. Их разделяют на группы, для которых:

1) на всей границе заданы перемещения,

2) на всей границе заданы напряжения (поверхностные силы),

3) на части границы заданы перемещения, а на остальной поверхности — напряжения.

Во всех трех случаях предполагается, что всюду в теле массовые силы известны.

Для тех задач, в которых на всей границе даны компоненты перемещения в виде функции

выражение деформаций через перемещения (6.29) можно подставить в закон Гука (6.28), а результат в свою очередь подставить в (6.27).

Так получаются основные уравнения для перемещений

или

которые называются уравнениями Навье — Коши. Решение задач этого типа состоит в отыскании вектора перемещения удовлетворяющего уравнению (6.31) всюду внутри тела и условиям (6 30) на его границе.

Для тех задач, в которых на всей границе известны поверхностные силы

комбинацией уравнений совместности (3.104), закона Гука (6.24) и уравнений равновесия (6.27) получим основные уравнения для напряжений

или

которые называются уравнениями совместности Бельтрами — Мичелла. Решение задач этого типа состоит в нахождении тензора напряжений, который удовлетворяет уравнениям (6.27) и (6.33) всюду внутри тела и условиям (6.32) на границе.

Для задач, имеющих смешанные граничные условия, должна решаться система уравнений (6.27), (6.28) и (6.29). Решение дает поле напряжений и перемещений для всех точек тела. На некоторой части граничной поверхности компоненты напряжений должны удовлетворять условиям (6.32), а на оставшейся ее части перемещения должны удовлетворять условиям (6.30).

При постановке динамических задач уравнения равновесия (6.27) нужно заменить уравнениями движения (5.16):

и наряду с граничными условиями нужно задать еще начальные условия. Основные уравнения для поля перемещений в этом случае аналогичны уравнениям (6.31) статики

Решение уравнений (6.35) ищем в виде Оно должно удовлетворять не только начальным условиям, которые обычно записываются в виде равенств

но и граничным условиям, наложенным либо на перемещения

либо на напряжения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление