Главная > Физика > Теория и задачи механики сплошных сред
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.6. Плоские задачи теории упругости. Плоское напряженное состояние и плоская деформация

Во многих задачах теории упругости можно вполне удовлетворительно обойтись двумя измерениями, или так называемой плоской теорией упругости. Имеется два общих типа задач такого рода. Хотя эти два типа можно выделить, принимая определенные ограничения и допущения для полей напряжений и перемещений, часто их вводят описательно при помощи типичных примеров. Для реализации плоского напряженного состояния тело должно представлять

собой пластину, у которой один размер много меньше, чем другие. Нагрузка распределена равномерно по толщине пластины и действует в ее плоскости, как показано стрелками на рис. 6.2,а. Для реализации плоской деформации тело должно иметь форму цилиндра, когда один размер много больше, чем другие. Нагрузка равномерно распределена вдоль оси наибольшего размера и действует перпендикулярно ей, как показано стрелками на рис. 6.2, б.

Рис. 6.2.

В задачах с плоским напряженным состоянием (рис. 6.2, а) компоненты напряжения принимаются равными нулю всюду, а остальные компоненты считаются функциями только

В соответствии с этим постановка задач для плоского поля напряжений содержит следующие уравнения:

Из-за специальной формы тензора деформации в случае плоского напряженного состояния шесть уравнений совместности (3.104)

для очень тонких пластин с достаточной точностью сводятся к одному уравнению

Выписанную систему уравнений можно преобразовав и получить основное уравнение для компонент перемещения иа:

или

где

Для задач о плоской деформации (рис. 6.2, б) компонента перемещения принимается равной нулю, а остальные компоненты считаются функциями только

В этом случае система уравнений, дающая постановку задачи, имеет вид:

причем

Из уравнений (6.47), (6.48), (6.49) в случае плоской деформации получается соответствующая форма уравнений Навье:

или

Так же как при плоском напряженном состоянии, уравнения совместности для плоских деформаций сводятся к одному уравнению (6.44).

Если силы, приложенные к ребру пластины на рис. 6.2,а, распределены по толщине не равномерно, а симметрично относительно средней плоскости пластины, то яженное состояние называют обобщенным плоским напряженным состоянием. При постановке задач в этом случае переменные поля истинных величин и нужно заменить напряжениями, деформациями и перемещениями, осредненными по толщине пластины. Для таких осредненных переменных формулировка задач в случае обобщенного плоского напряжения в сущности такая же, как при плоской деформации, если заменить на величину

В курсах теории упругости иногда упоминается понятие обобщенной плоской деформации, когда в (6.50) будет постоянной, отличной от нуля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление